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4 clases, 12 hojas: cada plan de clase con su hoja de trabajo y sus respuestas. Imprímelas todas o elige «Guardar como PDF» en la ventana de impresión para tener un solo archivo.
Plan de clase · Probabilidad · 15–18 años · 45 min
El tablero de Galton: orden a partir de rebotes al azar
Objetivos: el alumnado aprende a
contar caminos con el triángulo de Pascal y los coeficientes binomiales;
convertir el número de caminos en probabilidades;
ver por qué muchos sucesos aleatorios dan una forma predecible;
Antes del vídeo: predice
1000 bolas caen a través de 10 filas de clavos. En cada clavo, una bola va a la izquierda o a la derecha con la misma probabilidad. Dibuja dónde crees que se amontonarán.
El vídeo
Galton Board: 1,140 Random Balls Draw a Perfect Bell Curve · hypnoticpatterns.doner.cloud/video/galton-board-1-140-random-balls-draw-a-perfect-bell-curve
La clase, minuto a minuto
5 min
Predicción: cada estudiante dibuja el montón; recoger en la pizarra dos o tres bocetos distintos.
3 min
Ver el vídeo y compararlo con los bocetos.
20 min
Hoja de trabajo por parejas, cada pareja en su nivel: Inicio, Base o Reto.
10 min
Debate: las preguntas de abajo.
7 min
Demo en directo en la pizarra: inclinar el tablero al 60 % y añadir filas; comprobar las predicciones.
La hoja de trabajo
Inicio
Un tablero tiene 3 filas. Dibuja todos los caminos izquierda/derecha que puede seguir una bola. ¿Cuántos hay?
Respuesta: 2 × 2 × 2 = 8 caminos.
¿Cuántos de los 8 caminos terminan en cada una de las 4 casillas?
Respuesta: 1, 3, 3, 1: un camino a cada extremo y tres a cada casilla central.
¿Qué probabilidad hay de que una bola caiga en una de las dos casillas centrales?
Respuesta: 6 ÷ 8 = 75 %.
Base
Con 10 filas, ¿cuántos caminos distintos puede seguir una bola?
Respuesta: 2¹⁰ = 1024.
¿Cuántos de ellos terminan en la casilla central (exactamente 5 rebotes a la derecha)?
Respuesta: C(10, 5) = 252.
¿Qué probabilidad tiene la casilla central?
Respuesta: 252 ÷ 1024 ≈ 24,6 %.
¿Qué probabilidad tiene una de las dos casillas de los extremos?
Respuesta: 2 ÷ 1024 ≈ 0,2 %.
De 1000 bolas, ¿cuántas caen más o menos en las casillas 4, 5 o 6?
Respuesta: (210 + 252 + 210) ÷ 1024 ≈ 65,6 %, así que unas 656 bolas.
Reto
Ahora cada clavo envía el 60 % de las bolas a la derecha. Con 10 filas, ¿qué casilla es la más probable, y con qué probabilidad?
Respuesta: La casilla 6: C(10, 6) · 0,6⁶ · 0,4⁴ ≈ 25,1 %. El centro de la campana se desplaza a 10 × 0,6 = 6.
Con un número par de filas n, la casilla central recibe C(n, n/2) ÷ 2ⁿ de las bolas. ¿A partir de cuántas filas es menos del 10 %?
Respuesta: A partir de 64 filas: C(64, 32) ÷ 2⁶⁴ ≈ 9,9 %. La campana se ensancha, así que la casilla central recibe una parte menor.
Para debatir
Una sola bola no dice casi nada. ¿Por qué 1000 bolas lo dicen casi todo?
¿Dónde más te encuentras una curva en forma de campana? (estaturas, errores de medida, notas de exámenes)
¿Qué cambiaría si cada clavo enviara el 60 % de las bolas a la derecha?
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Hoja de trabajo · Probabilidad
El tablero de Galton: orden a partir de rebotes al azar
Nombre: Fecha:
Antes del vídeo: predice
1000 bolas caen a través de 10 filas de clavos. En cada clavo, una bola va a la izquierda o a la derecha con la misma probabilidad. Dibuja dónde crees que se amontonarán.
Inicio
Un tablero tiene 3 filas. Dibuja todos los caminos izquierda/derecha que puede seguir una bola. ¿Cuántos hay?
¿Cuántos de los 8 caminos terminan en cada una de las 4 casillas?
¿Qué probabilidad hay de que una bola caiga en una de las dos casillas centrales?
Base
Con 10 filas, ¿cuántos caminos distintos puede seguir una bola?
¿Cuántos de ellos terminan en la casilla central (exactamente 5 rebotes a la derecha)?
¿Qué probabilidad tiene la casilla central?
¿Qué probabilidad tiene una de las dos casillas de los extremos?
De 1000 bolas, ¿cuántas caen más o menos en las casillas 4, 5 o 6?
Reto
Ahora cada clavo envía el 60 % de las bolas a la derecha. Con 10 filas, ¿qué casilla es la más probable, y con qué probabilidad?
Con un número par de filas n, la casilla central recibe C(n, n/2) ÷ 2ⁿ de las bolas. ¿A partir de cuántas filas es menos del 10 %?
Respuestas · para el docente
El tablero de Galton: orden a partir de rebotes al azar
Inicio
Un tablero tiene 3 filas. Dibuja todos los caminos izquierda/derecha que puede seguir una bola. ¿Cuántos hay?
2 × 2 × 2 = 8 caminos.
¿Cuántos de los 8 caminos terminan en cada una de las 4 casillas?
1, 3, 3, 1: un camino a cada extremo y tres a cada casilla central.
¿Qué probabilidad hay de que una bola caiga en una de las dos casillas centrales?
6 ÷ 8 = 75 %.
Base
Con 10 filas, ¿cuántos caminos distintos puede seguir una bola?
2¹⁰ = 1024.
¿Cuántos de ellos terminan en la casilla central (exactamente 5 rebotes a la derecha)?
C(10, 5) = 252.
¿Qué probabilidad tiene la casilla central?
252 ÷ 1024 ≈ 24,6 %.
¿Qué probabilidad tiene una de las dos casillas de los extremos?
2 ÷ 1024 ≈ 0,2 %.
De 1000 bolas, ¿cuántas caen más o menos en las casillas 4, 5 o 6?
(210 + 252 + 210) ÷ 1024 ≈ 65,6 %, así que unas 656 bolas.
Reto
Ahora cada clavo envía el 60 % de las bolas a la derecha. Con 10 filas, ¿qué casilla es la más probable, y con qué probabilidad?
La casilla 6: C(10, 6) · 0,6⁶ · 0,4⁴ ≈ 25,1 %. El centro de la campana se desplaza a 10 × 0,6 = 6.
Con un número par de filas n, la casilla central recibe C(n, n/2) ÷ 2ⁿ de las bolas. ¿A partir de cuántas filas es menos del 10 %?
A partir de 64 filas: C(64, 32) ÷ 2⁶⁴ ≈ 9,9 %. La campana se ensancha, así que la casilla central recibe una parte menor.
Plan de clase · Números y geometría · 15–18 años · 45 min
Fibonacci en un girasol
Objetivos: el alumnado aprende a
ver cómo una fracción de vuelta forma radios;
conocer el número áureo como límite de los cocientes de Fibonacci;
explicar por qué el ángulo áureo llena una flor por igual;
Antes del vídeo: predice
Se colocan semillas una a una, cada una girada el mismo ángulo respecto a la anterior. ¿Qué forma sale con media vuelta (180°)? ¿Y con un tercio de vuelta (120°)?
El vídeo
Why Does a Sunflower Have 21 and 34 Spirals? · hypnoticpatterns.doner.cloud/short/why-does-a-sunflower-have-21-and-34-spirals
La clase, minuto a minuto
5 min
Predicción: bocetos para 180° y 120°; pedir que adivinen un ángulo «mejor».
3 min
Ver el Short «Why do sunflowers turn every seed 137.5°?» (en inglés; la imagen habla por sí sola).
20 min
Hoja de trabajo en tres niveles.
10 min
Debate: las preguntas de abajo.
7 min
Demo en directo: 137,5°, luego 144° y 135° en la pizarra; contar los radios entre todos.
La hoja de trabajo
Inicio
¿Qué fracción de una vuelta completa es 180°? ¿Y 120°? ¿Y 144°? ¿Y 135°?
Respuesta: 1/2, 1/3, 2/5, 3/8.
¿Cuántos radios rectos da cada uno de estos ángulos?
Respuesta: 2, 3, 5 y 8: el denominador de la fracción.
¿Por qué una fracción de vuelta siempre forma radios?
Respuesta: Tras tantas semillas como indica el denominador, los giros suman un número entero de vueltas, así que la siguiente semilla vuelve a caer en el primer radio.
Base
Calcula 8/5, 13/8, 21/13, 34/21 y 55/34 con tres decimales. ¿Qué observas?
Respuesta: 1,600; 1,625; 1,615; 1,619; 1,618: los cocientes se acercan al número áureo φ ≈ 1,618 por los dos lados.
Calcula 360° ÷ φ², con φ = 1,618034.
Respuesta: 360 ÷ 2,618034 ≈ 137,5°.
El ángulo áureo es 0,381966 de vuelta. Multiplícalo por 13, 21 y 34. ¿A qué distancia está cada resultado de un número entero?
Respuesta: 4,9656; 8,0213; 12,9868: a 0,034, 0,021 y 0,013 de vuelta. Las semillas separadas por 21 o 34 casi se alinean, y eso forma las espirales.
Respuesta: De φ² = φ + 1, dividiendo entre φ: φ = 1 + 1/φ, así que φ − 1 = 1/φ. Entonces 1 − 1/φ = (φ − 1)/φ = (1/φ)/φ = 1/φ².
¿Por qué los girasoles muestran 21 y 34 espirales y no 20 y 30?
Respuesta: Las espirales aparecen entre semillas que casi se alinean, y con el ángulo áureo esas semillas están separadas por un número de Fibonacci: 13, 21, 34, 55…
Para debatir
¿Qué ganaría una planta con no dejar huecos entre sus semillas?
¿Por qué ninguna fracción de vuelta funciona tan bien como el ángulo áureo?
¿Dónde más te has encontrado los números de Fibonacci?
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Hoja de trabajo · Números y geometría
Fibonacci en un girasol
Nombre: Fecha:
Antes del vídeo: predice
Se colocan semillas una a una, cada una girada el mismo ángulo respecto a la anterior. ¿Qué forma sale con media vuelta (180°)? ¿Y con un tercio de vuelta (120°)?
Inicio
¿Qué fracción de una vuelta completa es 180°? ¿Y 120°? ¿Y 144°? ¿Y 135°?
¿Cuántos radios rectos da cada uno de estos ángulos?
¿Por qué una fracción de vuelta siempre forma radios?
Base
Calcula 8/5, 13/8, 21/13, 34/21 y 55/34 con tres decimales. ¿Qué observas?
Calcula 360° ÷ φ², con φ = 1,618034.
El ángulo áureo es 0,381966 de vuelta. Multiplícalo por 13, 21 y 34. ¿A qué distancia está cada resultado de un número entero?
¿Por qué los girasoles muestran 21 y 34 espirales y no 20 y 30?
Respuestas · para el docente
Fibonacci en un girasol
Inicio
¿Qué fracción de una vuelta completa es 180°? ¿Y 120°? ¿Y 144°? ¿Y 135°?
1/2, 1/3, 2/5, 3/8.
¿Cuántos radios rectos da cada uno de estos ángulos?
2, 3, 5 y 8: el denominador de la fracción.
¿Por qué una fracción de vuelta siempre forma radios?
Tras tantas semillas como indica el denominador, los giros suman un número entero de vueltas, así que la siguiente semilla vuelve a caer en el primer radio.
Base
Calcula 8/5, 13/8, 21/13, 34/21 y 55/34 con tres decimales. ¿Qué observas?
1,600; 1,625; 1,615; 1,619; 1,618: los cocientes se acercan al número áureo φ ≈ 1,618 por los dos lados.
Calcula 360° ÷ φ², con φ = 1,618034.
360 ÷ 2,618034 ≈ 137,5°.
El ángulo áureo es 0,381966 de vuelta. Multiplícalo por 13, 21 y 34. ¿A qué distancia está cada resultado de un número entero?
4,9656; 8,0213; 12,9868: a 0,034, 0,021 y 0,013 de vuelta. Las semillas separadas por 21 o 34 casi se alinean, y eso forma las espirales.
De φ² = φ + 1, dividiendo entre φ: φ = 1 + 1/φ, así que φ − 1 = 1/φ. Entonces 1 − 1/φ = (φ − 1)/φ = (1/φ)/φ = 1/φ².
¿Por qué los girasoles muestran 21 y 34 espirales y no 20 y 30?
Las espirales aparecen entre semillas que casi se alinean, y con el ángulo áureo esas semillas están separadas por un número de Fibonacci: 13, 21, 34, 55…
Plan de clase · Aritmética modular · 13–18 años · 45 min
Tablas de multiplicar en un círculo
Objetivos: el alumnado aprende a
calcular con restos (aritmética modular);
dibujar una cardioide como envolvente de líneas rectas;
relacionar el multiplicador con el número de cúspides;
Antes del vídeo: predice
Diez puntos en un círculo están numerados del 0 al 9. Cada punto n se une con el punto 2n, y al pasar del 9 se vuelve a contar desde el 0. ¿Con qué punto se une el 7?
El vídeo
Times Table on a Circle: One Rule Draws a Heart (Cardioid) · hypnoticpatterns.doner.cloud/video/times-table-on-a-circle-one-rule-draws-a-heart-cardioid
La clase, minuto a minuto
5 min
Predicción en la pizarra con diez puntos; acordar que el 7 se une con el 4, porque 14 − 10 = 4.
3 min
Ver el vídeo «One Multiplication Rule Draws Every Shape» (título en inglés, sin voz).
20 min
Hoja de trabajo; en el nivel Inicio, el alumnado dibuja a mano el círculo de diez puntos.
10 min
Debate: las preguntas de abajo.
7 min
Demo en directo: por 2, 3, 4, y luego por 101 con 200 puntos.
La hoja de trabajo
Inicio
Con 10 puntos y por 2, escribe adónde va cada punto del 0 al 9.
Dibuja las diez líneas. ¿A qué puntos llegan dos líneas?
Respuesta: Al 2, al 4, al 6 y al 8 llegan dos líneas a cada uno: por ejemplo, el 1 y el 6 van los dos al 2. Al punto 0 llega una, desde el 5, porque el 0 va a sí mismo.
Base
Con 200 puntos y por 2, ¿adónde van los puntos 150 y 199?
Respuesta: 300 − 200 = 100, y 398 − 200 = 198.
Con 200 puntos, ¿qué puntos van a sí mismos por 2? ¿Y por 3?
Respuesta: Por 2: solo el punto 0, porque 2n = n exige n = 0. Por 3: los puntos 0 y 100, porque 2n tiene que ser 0 o 200.
¿Cuántas cúspides dan por 2, por 3 y por 4?
Respuesta: 1, 2 y 3: la cardioide, la nefroide y una curva con tres cúspides, siempre k − 1.
Reto
Con 200 puntos, demuestra que por 101 envía cada punto par a sí mismo y cada punto impar al lado opuesto.
Respuesta: 101n = 100n + n. Para n par, 100n es múltiplo de 200, así que el punto sigue siendo n. Para n impar, 100n deja resto 100, así que el punto es n + 100: media vuelta.
Con 200 puntos, ¿qué dibuja por 201, y por qué?
Respuesta: Nada: 201n = 200n + n, así que cada punto va a sí mismo y todas las líneas tienen longitud cero.
Para debatir
¿Por qué las líneas rectas parecen una curva?
¿Por qué solo importa el resto de dividir entre 200?
¿Qué dibujaría por 202?
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Hoja de trabajo · Aritmética modular
Tablas de multiplicar en un círculo
Nombre: Fecha:
Antes del vídeo: predice
Diez puntos en un círculo están numerados del 0 al 9. Cada punto n se une con el punto 2n, y al pasar del 9 se vuelve a contar desde el 0. ¿Con qué punto se une el 7?
Inicio
Con 10 puntos y por 2, escribe adónde va cada punto del 0 al 9.
Dibuja las diez líneas. ¿A qué puntos llegan dos líneas?
Base
Con 200 puntos y por 2, ¿adónde van los puntos 150 y 199?
Con 200 puntos, ¿qué puntos van a sí mismos por 2? ¿Y por 3?
¿Cuántas cúspides dan por 2, por 3 y por 4?
Reto
Con 200 puntos, demuestra que por 101 envía cada punto par a sí mismo y cada punto impar al lado opuesto.
Con 200 puntos, ¿qué dibuja por 201, y por qué?
Respuestas · para el docente
Tablas de multiplicar en un círculo
Inicio
Con 10 puntos y por 2, escribe adónde va cada punto del 0 al 9.
0→0, 1→2, 2→4, 3→6, 4→8, 5→0, 6→2, 7→4, 8→6, 9→8.
Dibuja las diez líneas. ¿A qué puntos llegan dos líneas?
Al 2, al 4, al 6 y al 8 llegan dos líneas a cada uno: por ejemplo, el 1 y el 6 van los dos al 2. Al punto 0 llega una, desde el 5, porque el 0 va a sí mismo.
Base
Con 200 puntos y por 2, ¿adónde van los puntos 150 y 199?
300 − 200 = 100, y 398 − 200 = 198.
Con 200 puntos, ¿qué puntos van a sí mismos por 2? ¿Y por 3?
Por 2: solo el punto 0, porque 2n = n exige n = 0. Por 3: los puntos 0 y 100, porque 2n tiene que ser 0 o 200.
¿Cuántas cúspides dan por 2, por 3 y por 4?
1, 2 y 3: la cardioide, la nefroide y una curva con tres cúspides, siempre k − 1.
Reto
Con 200 puntos, demuestra que por 101 envía cada punto par a sí mismo y cada punto impar al lado opuesto.
101n = 100n + n. Para n par, 100n es múltiplo de 200, así que el punto sigue siendo n. Para n impar, 100n deja resto 100, así que el punto es n + 100: media vuelta.
Con 200 puntos, ¿qué dibuja por 201, y por qué?
Nada: 201n = 200n + n, así que cada punto va a sí mismo y todas las líneas tienen longitud cero.
Plan de clase · Geometría y probabilidad · 14–18 años · 45 min
El juego del caos: un fractal a partir del azar
Objetivos: el alumnado aprende a
hallar puntos medios con coordenadas;
describir el triángulo de Sierpiński y su autosemejanza;
ver cómo una regla aleatoria puede dar aun así una forma exacta;
Antes del vídeo: predice
Elige al azar uno de los vértices de un triángulo, salta a mitad de camino hacia él, marca el punto y repítelo miles de veces. ¿Obtendrás una nube al azar o algo distinto?
El vídeo
The Chaos Game: Pure Randomness Draws a Perfect Fractal · hypnoticpatterns.doner.cloud/video/the-chaos-game-pure-randomness-draws-a-perfect-fractal
La clase, minuto a minuto
5 min
Predicción; después, cada estudiante hace cinco saltos a mano con un dado sobre un triángulo impreso.
3 min
Ver el vídeo «Pure Randomness Draws a Perfect Fractal» (título en inglés, sin voz).
20 min
Hoja de trabajo en tres niveles.
10 min
Debate: las preguntas de abajo.
7 min
Demo en directo: el cuadrado con y sin la restricción, y luego el pentágono con 0,618.
La hoja de trabajo
Inicio
Los vértices son A (0; 0), B (8; 0) y C (4; 8). Empieza en (4; 4) y salta a mitad de camino hacia A, luego hacia C, luego hacia B y luego hacia C. Anota cada punto.
Cada salto reduce a la mitad la distancia al fractal. Tras 10 saltos, ¿qué parte de la distancia inicial queda?
Respuesta: (1/2)¹⁰ = 1/1024, alrededor de una milésima.
Reto
El triángulo de Sierpiński está formado por 3 copias de sí mismo a la mitad de tamaño. Su dimensión d cumple 2ᵈ = 3. Halla d.
Respuesta: d = log 3 ÷ log 2 ≈ 1,585: más que una línea (1), menos que un triángulo relleno (2).
Juega en un cuadrado con saltos de la mitad. ¿Por qué los puntos simplemente llenan el cuadrado?
Respuesta: Cuatro copias de un cuadrado a la mitad de tamaño llenan el cuadrado exactamente, sin huecos, así que la forma que la regla deja igual es el cuadrado entero.
Para debatir
¿Cómo pueden unas elecciones al azar dar una forma que es exactamente igual cada vez?
¿Qué cambia si nunca eliges el mismo vértice dos veces seguidas?
¿Dónde ves en la naturaleza formas hechas de copias más pequeñas de sí mismas?
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Hoja de trabajo · Geometría y probabilidad
El juego del caos: un fractal a partir del azar
Nombre: Fecha:
Antes del vídeo: predice
Elige al azar uno de los vértices de un triángulo, salta a mitad de camino hacia él, marca el punto y repítelo miles de veces. ¿Obtendrás una nube al azar o algo distinto?
Inicio
Los vértices son A (0; 0), B (8; 0) y C (4; 8). Empieza en (4; 4) y salta a mitad de camino hacia A, luego hacia C, luego hacia B y luego hacia C. Anota cada punto.
¿Cómo se halla el punto que está a mitad de camino entre dos puntos?
Base
Cada etapa del triángulo de Sierpiński quita la cuarta parte central de cada triángulo. ¿Qué parte del área queda tras 1, 2 y 5 etapas?
¿Cuántos triángulos pequeños hay tras 5 etapas?
Cada salto reduce a la mitad la distancia al fractal. Tras 10 saltos, ¿qué parte de la distancia inicial queda?
Reto
El triángulo de Sierpiński está formado por 3 copias de sí mismo a la mitad de tamaño. Su dimensión d cumple 2ᵈ = 3. Halla d.
Juega en un cuadrado con saltos de la mitad. ¿Por qué los puntos simplemente llenan el cuadrado?
Respuestas · para el docente
El juego del caos: un fractal a partir del azar
Inicio
Los vértices son A (0; 0), B (8; 0) y C (4; 8). Empieza en (4; 4) y salta a mitad de camino hacia A, luego hacia C, luego hacia B y luego hacia C. Anota cada punto.
(2; 2), (3; 5), (5,5; 2,5), (4,75; 5,25).
¿Cómo se halla el punto que está a mitad de camino entre dos puntos?
Se hace la media de los valores x y la media de los valores y.
Base
Cada etapa del triángulo de Sierpiński quita la cuarta parte central de cada triángulo. ¿Qué parte del área queda tras 1, 2 y 5 etapas?
3/4 = 75 %, 9/16 ≈ 56,3 %, (3/4)⁵ ≈ 23,7 %.
¿Cuántos triángulos pequeños hay tras 5 etapas?
3⁵ = 243.
Cada salto reduce a la mitad la distancia al fractal. Tras 10 saltos, ¿qué parte de la distancia inicial queda?
(1/2)¹⁰ = 1/1024, alrededor de una milésima.
Reto
El triángulo de Sierpiński está formado por 3 copias de sí mismo a la mitad de tamaño. Su dimensión d cumple 2ᵈ = 3. Halla d.
d = log 3 ÷ log 2 ≈ 1,585: más que una línea (1), menos que un triángulo relleno (2).
Juega en un cuadrado con saltos de la mitad. ¿Por qué los puntos simplemente llenan el cuadrado?
Cuatro copias de un cuadrado a la mitad de tamaño llenan el cuadrado exactamente, sin huecos, así que la forma que la regla deja igual es el cuadrado entero.