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Plano de aula · Probabilidade · 15–18 anos · 45 min
O tabuleiro de Galton: ordem a partir de desvios ao acaso
Objetivos
Contar caminhos com o triângulo de Pascal e os coeficientes binomiais.
Transformar contagens de caminhos em probabilidades.
Perceber por que razão muitos acontecimentos aleatórios dão uma forma previsível.
Antes do filme: prever
1000 bolas caem através de 10 filas de pinos. Em cada pino, uma bola vai para a esquerda ou para a direita com a mesma probabilidade. Esboce onde acha que se vão acumular.
O filme
Galton Board: 1,140 Random Balls Draw a Perfect Bell Curve · hypnoticpatterns.doner.cloud/video/galton-board-1-140-random-balls-draw-a-perfect-bell-curve
A aula, minuto a minuto
5 min
Prever: cada um esboça a pilha de bolas; reúnam no quadro dois ou três esboços diferentes.
3 min
Ver o filme; compará-lo com os esboços.
20 min
Folha de exercícios em pares, cada par no seu nível: Início, Base ou Desafio.
10 min
Discutir: as perguntas abaixo.
7 min
Demo ao vivo no quadro: inclinar o tabuleiro para 60% e acrescentar filas; verificar as previsões.
A folha de exercícios
Início
Um tabuleiro tem 3 filas. Desenhe todos os caminhos esquerda/direita que uma bola pode fazer. Quantos são?
Resposta: 2 × 2 × 2 = 8 caminhos.
Quantos dos 8 caminhos terminam em cada um dos 4 compartimentos?
Resposta: 1, 3, 3, 1: um caminho para cada ponta, três para cada compartimento do meio.
Qual é a probabilidade de uma bola cair num dos dois compartimentos do meio?
Resposta: 6 ÷ 8 = 75%.
Base
Com 10 filas, quantos caminhos diferentes pode fazer uma bola?
Resposta: 2¹⁰ = 1024.
Quantos deles terminam no compartimento central (exatamente 5 desvios para a direita)?
Resposta: C(10, 5) = 252.
Qual é a probabilidade do compartimento central?
Resposta: 252 ÷ 1024 ≈ 24,6%.
Qual é a probabilidade de um dos dois compartimentos das pontas?
Resposta: 2 ÷ 1024 ≈ 0,2%.
De 1000 bolas, cerca de quantas caem nos compartimentos 4, 5 ou 6?
Resposta: (210 + 252 + 210) ÷ 1024 ≈ 65,6%, ou seja, cerca de 656 bolas.
Desafio
Agora cada pino envia 60% das bolas para a direita. Com 10 filas, qual compartimento é o mais provável, e com que probabilidade?
Resposta: O compartimento 6: C(10, 6) · 0,6⁶ · 0,4⁴ ≈ 25,1%. O centro do sino passa para 10 × 0,6 = 6.
Com um número par de filas n, o compartimento central recebe C(n, n/2) ÷ 2ⁿ das bolas. A partir de quantas filas isso fica abaixo de 10%?
Resposta: A partir de 64 filas: C(64, 32) ÷ 2⁶⁴ ≈ 9,9%. O sino alarga-se, por isso o compartimento central recebe uma parte menor.
Para discutir
Uma bola quase não diz nada. Por que razão 1000 bolas dizem quase tudo?
Onde mais encontramos uma curva em sino? (alturas, erros de medição, resultados de testes)
O que mudaria se cada pino enviasse 60% das bolas para a direita?
Uso livre com a sua turma. Se ajudou, fale disto a outros professores ou Apoiar o canal →
Folha de exercícios · Probabilidade
O tabuleiro de Galton: ordem a partir de desvios ao acaso
Nome: Data:
Antes do filme: prever
1000 bolas caem através de 10 filas de pinos. Em cada pino, uma bola vai para a esquerda ou para a direita com a mesma probabilidade. Esboce onde acha que se vão acumular.
Início
Um tabuleiro tem 3 filas. Desenhe todos os caminhos esquerda/direita que uma bola pode fazer. Quantos são?
Quantos dos 8 caminhos terminam em cada um dos 4 compartimentos?
Qual é a probabilidade de uma bola cair num dos dois compartimentos do meio?
Base
Com 10 filas, quantos caminhos diferentes pode fazer uma bola?
Quantos deles terminam no compartimento central (exatamente 5 desvios para a direita)?
Qual é a probabilidade do compartimento central?
Qual é a probabilidade de um dos dois compartimentos das pontas?
De 1000 bolas, cerca de quantas caem nos compartimentos 4, 5 ou 6?
Desafio
Agora cada pino envia 60% das bolas para a direita. Com 10 filas, qual compartimento é o mais provável, e com que probabilidade?
Com um número par de filas n, o compartimento central recebe C(n, n/2) ÷ 2ⁿ das bolas. A partir de quantas filas isso fica abaixo de 10%?
Respostas · para professores
O tabuleiro de Galton: ordem a partir de desvios ao acaso
Início
Um tabuleiro tem 3 filas. Desenhe todos os caminhos esquerda/direita que uma bola pode fazer. Quantos são?
2 × 2 × 2 = 8 caminhos.
Quantos dos 8 caminhos terminam em cada um dos 4 compartimentos?
1, 3, 3, 1: um caminho para cada ponta, três para cada compartimento do meio.
Qual é a probabilidade de uma bola cair num dos dois compartimentos do meio?
6 ÷ 8 = 75%.
Base
Com 10 filas, quantos caminhos diferentes pode fazer uma bola?
2¹⁰ = 1024.
Quantos deles terminam no compartimento central (exatamente 5 desvios para a direita)?
C(10, 5) = 252.
Qual é a probabilidade do compartimento central?
252 ÷ 1024 ≈ 24,6%.
Qual é a probabilidade de um dos dois compartimentos das pontas?
2 ÷ 1024 ≈ 0,2%.
De 1000 bolas, cerca de quantas caem nos compartimentos 4, 5 ou 6?
(210 + 252 + 210) ÷ 1024 ≈ 65,6%, ou seja, cerca de 656 bolas.
Desafio
Agora cada pino envia 60% das bolas para a direita. Com 10 filas, qual compartimento é o mais provável, e com que probabilidade?
O compartimento 6: C(10, 6) · 0,6⁶ · 0,4⁴ ≈ 25,1%. O centro do sino passa para 10 × 0,6 = 6.
Com um número par de filas n, o compartimento central recebe C(n, n/2) ÷ 2ⁿ das bolas. A partir de quantas filas isso fica abaixo de 10%?
A partir de 64 filas: C(64, 32) ÷ 2⁶⁴ ≈ 9,9%. O sino alarga-se, por isso o compartimento central recebe uma parte menor.
Plano de aula · Números e geometria · 15–18 anos · 45 min
Fibonacci num girassol
Objetivos
Ver como uma fração de volta forma raios.
Conhecer a proporção áurea como o limite das razões de Fibonacci.
Explicar por que razão o ângulo de ouro preenche uma flor por igual.
Antes do filme: prever
Colocam-se sementes uma a uma, cada uma girada o mesmo ângulo em relação à anterior. Que forma se obtém com meia volta (180°)? E com um terço de volta (120°)?
O filme
Why Does a Sunflower Have 21 and 34 Spirals? · hypnoticpatterns.doner.cloud/short/why-does-a-sunflower-have-21-and-34-spirals
A aula, minuto a minuto
5 min
Prever: esboços para 180° e 120°; pedir um palpite sobre um ângulo “melhor”.
3 min
Ver o Short “Why do sunflowers turn every seed 137.5°?” (em inglês; a imagem fala por si).
20 min
Folha de exercícios em três níveis.
10 min
Discutir: as perguntas abaixo.
7 min
Demo ao vivo: 137,5°, depois 144° e 135° no quadro; contar os raios em conjunto.
A folha de exercícios
Início
Que fração de uma volta completa é 180°? E 120°? 144°? 135°?
Resposta: 1/2, 1/3, 2/5, 3/8.
Quantos raios retos dá cada um destes ângulos?
Resposta: 2, 3, 5 e 8: o denominador da fração.
Por que razão uma fração de volta forma sempre raios?
Resposta: Depois de tantas sementes quanto o denominador, as rotações somam um número inteiro de voltas, por isso a semente seguinte volta a cair no primeiro raio.
Base
Calcule 8/5, 13/8, 21/13, 34/21 e 55/34 com três casas decimais. O que nota?
Resposta: 1,600; 1,625; 1,615; 1,619; 1,618: as razões aproximam-se da proporção áurea φ ≈ 1,618 pelos dois lados.
Calcule 360° ÷ φ², com φ = 1,618034.
Resposta: 360 ÷ 2,618034 ≈ 137,5°.
O ângulo de ouro é 0,381966 de uma volta. Multiplique por 13, 21 e 34. A que distância fica cada resultado de um número inteiro?
Resposta: 4,9656; 8,0213; 12,9868: a 0,034; 0,021 e 0,013 de volta. Sementes separadas por 21 ou 34 quase se alinham, e isso forma as espirais.
Resposta: De φ² = φ + 1, dividindo por φ: φ = 1 + 1/φ, logo φ − 1 = 1/φ. Então 1 − 1/φ = (φ − 1)/φ = (1/φ)/φ = 1/φ².
Por que razão os girassóis mostram 21 e 34 espirais e não 20 e 30?
Resposta: As espirais aparecem entre sementes que quase se alinham, e, para o ângulo de ouro, essas estão separadas por um número de Fibonacci: 13, 21, 34, 55…
Para discutir
Que vantagem teria uma planta em não deixar espaços vazios entre as sementes?
Por que razão nenhuma fração de volta consegue ser tão boa como o ângulo de ouro?
Onde mais já encontrou os números de Fibonacci?
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Folha de exercícios · Números e geometria
Fibonacci num girassol
Nome: Data:
Antes do filme: prever
Colocam-se sementes uma a uma, cada uma girada o mesmo ângulo em relação à anterior. Que forma se obtém com meia volta (180°)? E com um terço de volta (120°)?
Início
Que fração de uma volta completa é 180°? E 120°? 144°? 135°?
Quantos raios retos dá cada um destes ângulos?
Por que razão uma fração de volta forma sempre raios?
Base
Calcule 8/5, 13/8, 21/13, 34/21 e 55/34 com três casas decimais. O que nota?
Calcule 360° ÷ φ², com φ = 1,618034.
O ângulo de ouro é 0,381966 de uma volta. Multiplique por 13, 21 e 34. A que distância fica cada resultado de um número inteiro?
Por que razão os girassóis mostram 21 e 34 espirais e não 20 e 30?
Respostas · para professores
Fibonacci num girassol
Início
Que fração de uma volta completa é 180°? E 120°? 144°? 135°?
1/2, 1/3, 2/5, 3/8.
Quantos raios retos dá cada um destes ângulos?
2, 3, 5 e 8: o denominador da fração.
Por que razão uma fração de volta forma sempre raios?
Depois de tantas sementes quanto o denominador, as rotações somam um número inteiro de voltas, por isso a semente seguinte volta a cair no primeiro raio.
Base
Calcule 8/5, 13/8, 21/13, 34/21 e 55/34 com três casas decimais. O que nota?
1,600; 1,625; 1,615; 1,619; 1,618: as razões aproximam-se da proporção áurea φ ≈ 1,618 pelos dois lados.
Calcule 360° ÷ φ², com φ = 1,618034.
360 ÷ 2,618034 ≈ 137,5°.
O ângulo de ouro é 0,381966 de uma volta. Multiplique por 13, 21 e 34. A que distância fica cada resultado de um número inteiro?
4,9656; 8,0213; 12,9868: a 0,034; 0,021 e 0,013 de volta. Sementes separadas por 21 ou 34 quase se alinham, e isso forma as espirais.
De φ² = φ + 1, dividindo por φ: φ = 1 + 1/φ, logo φ − 1 = 1/φ. Então 1 − 1/φ = (φ − 1)/φ = (1/φ)/φ = 1/φ².
Por que razão os girassóis mostram 21 e 34 espirais e não 20 e 30?
As espirais aparecem entre sementes que quase se alinham, e, para o ângulo de ouro, essas estão separadas por um número de Fibonacci: 13, 21, 34, 55…
Plano de aula · Aritmética modular · 13–18 anos · 45 min
A tabuada num círculo
Objetivos
Calcular com restos (aritmética modular).
Desenhar uma cardioide como envolvente de linhas retas.
Relacionar o multiplicador com o número de cúspides.
Antes do filme: prever
Dez pontos num círculo estão numerados de 0 a 9. Cada ponto n é ligado ao ponto 2n, e depois do 9 a contagem volta ao 0. A que ponto se liga o 7?
O filme
Times Table on a Circle: One Rule Draws a Heart (Cardioid) · hypnoticpatterns.doner.cloud/video/times-table-on-a-circle-one-rule-draws-a-heart-cardioid
A aula, minuto a minuto
5 min
Prever no quadro com dez pontos; concluir em conjunto que o 7 se liga ao 4, porque 14 − 10 = 4.
3 min
Ver o filme “One Multiplication Rule Draws Every Shape” (título em inglês, sem narração).
20 min
Folha de exercícios; no nível Início, os alunos desenham à mão o círculo de dez pontos.
10 min
Discutir: as perguntas abaixo.
7 min
Demo ao vivo: vezes 2, 3, 4 e depois 101 com 200 pontos.
A folha de exercícios
Início
Com 10 pontos e vezes 2, indique para onde vai cada ponto de 0 a 9.
Desenhe as dez linhas. A que pontos chegam duas linhas?
Resposta: Ao 2, ao 4, ao 6 e ao 8 chegam duas linhas cada: por exemplo, o 1 e o 6 vão ambos para o 2. Ao ponto 0 chega uma, vinda do 5, porque o 0 vai para si mesmo.
Base
Com 200 pontos e vezes 2, para onde vão os pontos 150 e 199?
Resposta: 300 − 200 = 100, e 398 − 200 = 198.
Com 200 pontos, que pontos vão para si mesmos com vezes 2? E com vezes 3?
Resposta: Vezes 2: só o ponto 0, porque 2n = n exige n = 0. Vezes 3: os pontos 0 e 100, porque 2n tem de ser 0 ou 200.
Quantas cúspides dão vezes 2, vezes 3 e vezes 4?
Resposta: 1, 2 e 3: a cardioide, a nefroide e uma curva com três cúspides, sempre k − 1.
Desafio
Com 200 pontos, mostre que vezes 101 envia cada ponto par para si mesmo e cada ponto ímpar para o lado oposto.
Resposta: 101n = 100n + n. Para n par, 100n é um múltiplo de 200, por isso o ponto continua a ser n. Para n ímpar, 100n deixa resto 100, por isso o ponto é n + 100: a meia volta.
Com 200 pontos, o que desenha vezes 201, e por que razão?
Resposta: Nada: 201n = 200n + n, por isso cada ponto vai para si mesmo e cada linha tem comprimento zero.
Para discutir
Por que razão as linhas retas parecem uma curva?
Por que razão só importa o resto da divisão por 200?
O que desenharia vezes 202?
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Folha de exercícios · Aritmética modular
A tabuada num círculo
Nome: Data:
Antes do filme: prever
Dez pontos num círculo estão numerados de 0 a 9. Cada ponto n é ligado ao ponto 2n, e depois do 9 a contagem volta ao 0. A que ponto se liga o 7?
Início
Com 10 pontos e vezes 2, indique para onde vai cada ponto de 0 a 9.
Desenhe as dez linhas. A que pontos chegam duas linhas?
Base
Com 200 pontos e vezes 2, para onde vão os pontos 150 e 199?
Com 200 pontos, que pontos vão para si mesmos com vezes 2? E com vezes 3?
Quantas cúspides dão vezes 2, vezes 3 e vezes 4?
Desafio
Com 200 pontos, mostre que vezes 101 envia cada ponto par para si mesmo e cada ponto ímpar para o lado oposto.
Com 200 pontos, o que desenha vezes 201, e por que razão?
Respostas · para professores
A tabuada num círculo
Início
Com 10 pontos e vezes 2, indique para onde vai cada ponto de 0 a 9.
0→0, 1→2, 2→4, 3→6, 4→8, 5→0, 6→2, 7→4, 8→6, 9→8.
Desenhe as dez linhas. A que pontos chegam duas linhas?
Ao 2, ao 4, ao 6 e ao 8 chegam duas linhas cada: por exemplo, o 1 e o 6 vão ambos para o 2. Ao ponto 0 chega uma, vinda do 5, porque o 0 vai para si mesmo.
Base
Com 200 pontos e vezes 2, para onde vão os pontos 150 e 199?
300 − 200 = 100, e 398 − 200 = 198.
Com 200 pontos, que pontos vão para si mesmos com vezes 2? E com vezes 3?
Vezes 2: só o ponto 0, porque 2n = n exige n = 0. Vezes 3: os pontos 0 e 100, porque 2n tem de ser 0 ou 200.
Quantas cúspides dão vezes 2, vezes 3 e vezes 4?
1, 2 e 3: a cardioide, a nefroide e uma curva com três cúspides, sempre k − 1.
Desafio
Com 200 pontos, mostre que vezes 101 envia cada ponto par para si mesmo e cada ponto ímpar para o lado oposto.
101n = 100n + n. Para n par, 100n é um múltiplo de 200, por isso o ponto continua a ser n. Para n ímpar, 100n deixa resto 100, por isso o ponto é n + 100: a meia volta.
Com 200 pontos, o que desenha vezes 201, e por que razão?
Nada: 201n = 200n + n, por isso cada ponto vai para si mesmo e cada linha tem comprimento zero.
Plano de aula · Geometria e probabilidade · 14–18 anos · 45 min
O jogo do caos: um fractal a partir do acaso
Objetivos
Encontrar pontos médios com coordenadas.
Descrever o triângulo de Sierpiński e a sua autossemelhança.
Perceber como uma regra aleatória pode, mesmo assim, dar uma forma exata.
Antes do filme: prever
Escolha ao acaso um dos vértices de um triângulo, salte metade da distância até ele, marque o ponto e repita milhares de vezes. Vai obter uma nuvem ao acaso, ou outra coisa?
O filme
The Chaos Game: Pure Randomness Draws a Perfect Fractal · hypnoticpatterns.doner.cloud/video/the-chaos-game-pure-randomness-draws-a-perfect-fractal
A aula, minuto a minuto
5 min
Prever; depois, cada um faz cinco saltos à mão, com um dado, num triângulo impresso.
3 min
Ver o filme “Pure Randomness Draws a Perfect Fractal” (título em inglês, sem narração).
20 min
Folha de exercícios em três níveis.
10 min
Discutir: as perguntas abaixo.
7 min
Demo ao vivo: o quadrado com e sem a restrição, depois o pentágono com 0,618.
A folha de exercícios
Início
Os vértices são A (0, 0), B (8, 0) e C (4, 8). Comece em (4, 4) e salte metade da distância até A, depois até C, depois até B, depois até C. Escreva cada ponto.
Quantos triângulos pequenos há depois de 5 etapas?
Resposta: 3⁵ = 243.
Cada salto reduz a metade a distância ao fractal. Depois de 10 saltos, que parte da distância inicial resta?
Resposta: (1/2)¹⁰ = 1/1024, cerca de um milésimo.
Desafio
O triângulo de Sierpiński é feito de 3 cópias de si mesmo com metade do tamanho. A sua dimensão d resolve 2ᵈ = 3. Encontre d.
Resposta: d = log 3 ÷ log 2 ≈ 1,585: mais do que uma linha (1), menos do que um triângulo preenchido (2).
Jogue o jogo num quadrado com saltos de metade. Por que razão os pontos se limitam a preencher o quadrado?
Resposta: Quatro cópias de um quadrado com metade do tamanho preenchem exatamente o quadrado, sem espaços vazios, por isso a forma que a regra deixa igual é o quadrado inteiro.
Para discutir
Como podem escolhas ao acaso dar uma forma que é exatamente igual todas as vezes?
O que muda se nunca se escolher o mesmo vértice duas vezes seguidas?
Onde na natureza se veem formas feitas de cópias menores de si mesmas?
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Folha de exercícios · Geometria e probabilidade
O jogo do caos: um fractal a partir do acaso
Nome: Data:
Antes do filme: prever
Escolha ao acaso um dos vértices de um triângulo, salte metade da distância até ele, marque o ponto e repita milhares de vezes. Vai obter uma nuvem ao acaso, ou outra coisa?
Início
Os vértices são A (0, 0), B (8, 0) e C (4, 8). Comece em (4, 4) e salte metade da distância até A, depois até C, depois até B, depois até C. Escreva cada ponto.
Como se encontra o ponto a meio caminho entre dois pontos?
Base
Cada etapa do triângulo de Sierpiński retira o quarto do meio de cada triângulo. Que parte da área fica depois de 1, 2 e 5 etapas?
Quantos triângulos pequenos há depois de 5 etapas?
Cada salto reduz a metade a distância ao fractal. Depois de 10 saltos, que parte da distância inicial resta?
Desafio
O triângulo de Sierpiński é feito de 3 cópias de si mesmo com metade do tamanho. A sua dimensão d resolve 2ᵈ = 3. Encontre d.
Jogue o jogo num quadrado com saltos de metade. Por que razão os pontos se limitam a preencher o quadrado?
Respostas · para professores
O jogo do caos: um fractal a partir do acaso
Início
Os vértices são A (0, 0), B (8, 0) e C (4, 8). Comece em (4, 4) e salte metade da distância até A, depois até C, depois até B, depois até C. Escreva cada ponto.
(2; 2), (3; 5), (5,5; 2,5), (4,75; 5,25).
Como se encontra o ponto a meio caminho entre dois pontos?
Calcula-se a média dos valores de x e a média dos valores de y.
Base
Cada etapa do triângulo de Sierpiński retira o quarto do meio de cada triângulo. Que parte da área fica depois de 1, 2 e 5 etapas?
3/4 = 75%, 9/16 ≈ 56,3%, (3/4)⁵ ≈ 23,7%.
Quantos triângulos pequenos há depois de 5 etapas?
3⁵ = 243.
Cada salto reduz a metade a distância ao fractal. Depois de 10 saltos, que parte da distância inicial resta?
(1/2)¹⁰ = 1/1024, cerca de um milésimo.
Desafio
O triângulo de Sierpiński é feito de 3 cópias de si mesmo com metade do tamanho. A sua dimensão d resolve 2ᵈ = 3. Encontre d.
d = log 3 ÷ log 2 ≈ 1,585: mais do que uma linha (1), menos do que um triângulo preenchido (2).
Jogue o jogo num quadrado com saltos de metade. Por que razão os pontos se limitam a preencher o quadrado?
Quatro cópias de um quadrado com metade do tamanho preenchem exatamente o quadrado, sem espaços vazios, por isso a forma que a regra deixa igual é o quadrado inteiro.