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Stundenentwurf · Wahrscheinlichkeitsrechnung · Alter 15–18 · 45 Min.
Das Galtonbrett: Ordnung aus zufälligen Sprüngen
Ziele: Die Lernenden können
Wege mit dem Pascalschen Dreieck und Binomialkoeffizienten zählen
Anzahlen von Wegen in Wahrscheinlichkeiten umrechnen
erkennen, warum viele Zufallsereignisse eine vorhersagbare Form ergeben
Vor dem Film: vorhersagen
1000 Kugeln fallen durch 10 Reihen von Stiften. An jedem Stift geht eine Kugel mit gleicher Chance nach links oder rechts. Skizziere, wo sie sich deiner Meinung nach häufen.
Der Film
Galton Board: 1,140 Random Balls Draw a Perfect Bell Curve · hypnoticpatterns.doner.cloud/video/galton-board-1-140-random-balls-draw-a-perfect-bell-curve
Die Stunde, Minute für Minute
5 min
Vorhersagen: Alle skizzieren den Kugelhaufen; sammelt zwei oder drei verschiedene Skizzen an der Tafel.
3 min
Schaut den Film an; vergleicht ihn mit den Skizzen.
20 min
Arbeitsblatt in Paaren, jedes Paar auf seinem Niveau: Einstieg, Basis oder Herausforderung.
10 min
Besprechen: die Fragen unten.
7 min
Live-Demo an der Tafel: Kippt das Brett auf 60 % und fügt Reihen hinzu; prüft die Vorhersagen.
Das Arbeitsblatt
Einstieg
Ein Brett hat 3 Reihen. Zeichne jeden Links-rechts-Weg, den eine Kugel nehmen kann. Wie viele gibt es?
Lösung: 2 × 2 × 2 = 8 Wege.
Wie viele der 8 Wege enden in jedem der 4 Fächer?
Lösung: 1, 3, 3, 1: ein Weg zu jedem Rand, drei zu jedem mittleren Fach.
Wie groß ist die Chance, dass eine Kugel in einem der beiden mittleren Fächer landet?
Lösung: 6 ÷ 8 = 75 %.
Basis
Wie viele verschiedene Wege kann eine Kugel bei 10 Reihen nehmen?
Lösung: 2¹⁰ = 1024.
Wie viele davon enden im mittleren Fach (genau 5 Sprünge nach rechts)?
Lösung: C(10, 5) = 252.
Wie groß ist die Chance für das mittlere Fach?
Lösung: 252 ÷ 1024 ≈ 24,6 %.
Wie groß ist die Chance für eines der beiden äußeren Fächer?
Lösung: 2 ÷ 1024 ≈ 0,2 %.
Wie viele von 1000 Kugeln landen ungefähr in den Fächern 4, 5 oder 6?
Lösung: (210 + 252 + 210) ÷ 1024 ≈ 65,6 %, also etwa 656 Kugeln.
Herausforderung
Jeder Stift schickt jetzt 60 % der Kugeln nach rechts. Welches Fach ist bei 10 Reihen am wahrscheinlichsten, und wie wahrscheinlich?
Lösung: Fach 6: C(10, 6) · 0,6⁶ · 0,4⁴ ≈ 25,1 %. Die Mitte der Glocke wandert zu 10 × 0,6 = 6.
Bei einer geraden Zahl von Reihen n bekommt das mittlere Fach C(n, n/2) ÷ 2ⁿ der Kugeln. Ab wie vielen Reihen ist das weniger als 10 %?
Lösung: Ab 64 Reihen: C(64, 32) ÷ 2⁶⁴ ≈ 9,9 %. Die Glocke wird breiter, also bekommt das mittlere Fach einen kleineren Anteil.
Zum Besprechen
Eine Kugel verrät fast nichts. Warum verraten 1000 Kugeln fast alles?
Wo begegnet dir sonst noch eine Glockenkurve? (Körpergrößen, Messfehler, Testergebnisse)
Was würde sich ändern, wenn jeder Stift 60 % der Kugeln nach rechts schickte?
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Arbeitsblatt · Wahrscheinlichkeitsrechnung
Das Galtonbrett: Ordnung aus zufälligen Sprüngen
Name: Datum:
Vor dem Film: vorhersagen
1000 Kugeln fallen durch 10 Reihen von Stiften. An jedem Stift geht eine Kugel mit gleicher Chance nach links oder rechts. Skizziere, wo sie sich deiner Meinung nach häufen.
Einstieg
Ein Brett hat 3 Reihen. Zeichne jeden Links-rechts-Weg, den eine Kugel nehmen kann. Wie viele gibt es?
Wie viele der 8 Wege enden in jedem der 4 Fächer?
Wie groß ist die Chance, dass eine Kugel in einem der beiden mittleren Fächer landet?
Basis
Wie viele verschiedene Wege kann eine Kugel bei 10 Reihen nehmen?
Wie viele davon enden im mittleren Fach (genau 5 Sprünge nach rechts)?
Wie groß ist die Chance für das mittlere Fach?
Wie groß ist die Chance für eines der beiden äußeren Fächer?
Wie viele von 1000 Kugeln landen ungefähr in den Fächern 4, 5 oder 6?
Herausforderung
Jeder Stift schickt jetzt 60 % der Kugeln nach rechts. Welches Fach ist bei 10 Reihen am wahrscheinlichsten, und wie wahrscheinlich?
Bei einer geraden Zahl von Reihen n bekommt das mittlere Fach C(n, n/2) ÷ 2ⁿ der Kugeln. Ab wie vielen Reihen ist das weniger als 10 %?
Lösungen · für die Lehrkraft
Das Galtonbrett: Ordnung aus zufälligen Sprüngen
Einstieg
Ein Brett hat 3 Reihen. Zeichne jeden Links-rechts-Weg, den eine Kugel nehmen kann. Wie viele gibt es?
2 × 2 × 2 = 8 Wege.
Wie viele der 8 Wege enden in jedem der 4 Fächer?
1, 3, 3, 1: ein Weg zu jedem Rand, drei zu jedem mittleren Fach.
Wie groß ist die Chance, dass eine Kugel in einem der beiden mittleren Fächer landet?
6 ÷ 8 = 75 %.
Basis
Wie viele verschiedene Wege kann eine Kugel bei 10 Reihen nehmen?
2¹⁰ = 1024.
Wie viele davon enden im mittleren Fach (genau 5 Sprünge nach rechts)?
C(10, 5) = 252.
Wie groß ist die Chance für das mittlere Fach?
252 ÷ 1024 ≈ 24,6 %.
Wie groß ist die Chance für eines der beiden äußeren Fächer?
2 ÷ 1024 ≈ 0,2 %.
Wie viele von 1000 Kugeln landen ungefähr in den Fächern 4, 5 oder 6?
(210 + 252 + 210) ÷ 1024 ≈ 65,6 %, also etwa 656 Kugeln.
Herausforderung
Jeder Stift schickt jetzt 60 % der Kugeln nach rechts. Welches Fach ist bei 10 Reihen am wahrscheinlichsten, und wie wahrscheinlich?
Fach 6: C(10, 6) · 0,6⁶ · 0,4⁴ ≈ 25,1 %. Die Mitte der Glocke wandert zu 10 × 0,6 = 6.
Bei einer geraden Zahl von Reihen n bekommt das mittlere Fach C(n, n/2) ÷ 2ⁿ der Kugeln. Ab wie vielen Reihen ist das weniger als 10 %?
Ab 64 Reihen: C(64, 32) ÷ 2⁶⁴ ≈ 9,9 %. Die Glocke wird breiter, also bekommt das mittlere Fach einen kleineren Anteil.
Stundenentwurf · Zahlen und Geometrie · Alter 15–18 · 45 Min.
Fibonacci in der Sonnenblume
Ziele: Die Lernenden können
sehen, wie ein Bruchteil einer Drehung Strahlen erzeugt
den goldenen Schnitt als Grenzwert der Verhältnisse von Fibonacci-Zahlen kennenlernen
erklären, warum der goldene Winkel eine Blüte gleichmäßig füllt
Vor dem Film: vorhersagen
Samen werden einer nach dem anderen gesetzt, jeder um denselben Winkel gegenüber dem vorigen gedreht. Welche Form entsteht bei einer halben Drehung (180°)? Bei einer Drittel-Drehung (120°)?
Der Film
Why Does a Sunflower Have 21 and 34 Spirals? · hypnoticpatterns.doner.cloud/short/why-does-a-sunflower-have-21-and-34-spirals
Die Stunde, Minute für Minute
5 min
Vorhersagen: Skizzen für 180° und 120°; fragt nach einer Vermutung für einen „besten“ Winkel.
3 min
Schaut den Short „Why do sunflowers turn every seed 137.5°?“ an (auf Englisch; das Bild spricht für sich).
20 min
Arbeitsblatt auf drei Niveaus.
10 min
Besprechen: die Fragen unten.
7 min
Live-Demo: 137,5°, dann 144° und 135° an der Tafel; zählt die Strahlen gemeinsam.
Das Arbeitsblatt
Einstieg
Welcher Bruchteil einer vollen Drehung sind 180°? 120°? 144°? 135°?
Lösung: 1/2, 1/3, 2/5, 3/8.
Wie viele gerade Strahlen ergibt jeder dieser Winkel?
Lösung: 2, 3, 5 und 8: der Nenner des Bruchs.
Warum ergibt ein Bruchteil einer Drehung immer Strahlen?
Lösung: Nach so vielen Samen, wie der Nenner angibt, ergeben die Drehungen zusammen eine ganze Zahl von Umdrehungen, also landet der nächste Samen wieder auf dem ersten Strahl.
Basis
Berechne 8/5, 13/8, 21/13, 34/21 und 55/34 auf drei Nachkommastellen. Was fällt dir auf?
Lösung: 1,600, 1,625, 1,615, 1,619, 1,618: Die Verhältnisse nähern sich von beiden Seiten dem goldenen Schnitt φ ≈ 1,618.
Berechne 360° ÷ φ² mit φ = 1,618034.
Lösung: 360 ÷ 2,618034 ≈ 137,5°.
Der goldene Winkel ist 0,381966 einer Drehung. Multipliziere mit 13, 21 und 34. Wie weit liegt jedes Ergebnis von einer ganzen Zahl entfernt?
Lösung: 4,9656, 8,0213, 12,9868: 0,034, 0,021 und 0,013 einer Drehung entfernt. Samen, die 21 oder 34 auseinanderliegen, stehen fast in einer Linie, und das ergibt die Spiralen.
Herausforderung
Zeige mit φ² = φ + 1, dass 360° × (1 − 1/φ) = 360° ÷ φ².
Lösung: Aus φ² = φ + 1 folgt nach Division durch φ: φ = 1 + 1/φ, also φ − 1 = 1/φ. Dann ist 1 − 1/φ = (φ − 1)/φ = (1/φ)/φ = 1/φ².
Warum zeigen Sonnenblumen 21 und 34 Spiralen statt 20 und 30?
Lösung: Spiralen entstehen zwischen Samen, die fast in einer Linie stehen, und beim goldenen Winkel liegen diese eine Fibonacci-Zahl auseinander: 13, 21, 34, 55…
Zum Besprechen
Warum hätte eine Pflanze einen Vorteil davon, keine Lücken zwischen ihren Samen zu lassen?
Warum kann kein Bruchteil einer Drehung so gut sein wie der goldene Winkel?
Wo bist du den Fibonacci-Zahlen sonst schon begegnet?
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Arbeitsblatt · Zahlen und Geometrie
Fibonacci in der Sonnenblume
Name: Datum:
Vor dem Film: vorhersagen
Samen werden einer nach dem anderen gesetzt, jeder um denselben Winkel gegenüber dem vorigen gedreht. Welche Form entsteht bei einer halben Drehung (180°)? Bei einer Drittel-Drehung (120°)?
Einstieg
Welcher Bruchteil einer vollen Drehung sind 180°? 120°? 144°? 135°?
Wie viele gerade Strahlen ergibt jeder dieser Winkel?
Warum ergibt ein Bruchteil einer Drehung immer Strahlen?
Basis
Berechne 8/5, 13/8, 21/13, 34/21 und 55/34 auf drei Nachkommastellen. Was fällt dir auf?
Berechne 360° ÷ φ² mit φ = 1,618034.
Der goldene Winkel ist 0,381966 einer Drehung. Multipliziere mit 13, 21 und 34. Wie weit liegt jedes Ergebnis von einer ganzen Zahl entfernt?
Herausforderung
Zeige mit φ² = φ + 1, dass 360° × (1 − 1/φ) = 360° ÷ φ².
Warum zeigen Sonnenblumen 21 und 34 Spiralen statt 20 und 30?
Lösungen · für die Lehrkraft
Fibonacci in der Sonnenblume
Einstieg
Welcher Bruchteil einer vollen Drehung sind 180°? 120°? 144°? 135°?
1/2, 1/3, 2/5, 3/8.
Wie viele gerade Strahlen ergibt jeder dieser Winkel?
2, 3, 5 und 8: der Nenner des Bruchs.
Warum ergibt ein Bruchteil einer Drehung immer Strahlen?
Nach so vielen Samen, wie der Nenner angibt, ergeben die Drehungen zusammen eine ganze Zahl von Umdrehungen, also landet der nächste Samen wieder auf dem ersten Strahl.
Basis
Berechne 8/5, 13/8, 21/13, 34/21 und 55/34 auf drei Nachkommastellen. Was fällt dir auf?
1,600, 1,625, 1,615, 1,619, 1,618: Die Verhältnisse nähern sich von beiden Seiten dem goldenen Schnitt φ ≈ 1,618.
Berechne 360° ÷ φ² mit φ = 1,618034.
360 ÷ 2,618034 ≈ 137,5°.
Der goldene Winkel ist 0,381966 einer Drehung. Multipliziere mit 13, 21 und 34. Wie weit liegt jedes Ergebnis von einer ganzen Zahl entfernt?
4,9656, 8,0213, 12,9868: 0,034, 0,021 und 0,013 einer Drehung entfernt. Samen, die 21 oder 34 auseinanderliegen, stehen fast in einer Linie, und das ergibt die Spiralen.
Herausforderung
Zeige mit φ² = φ + 1, dass 360° × (1 − 1/φ) = 360° ÷ φ².
Aus φ² = φ + 1 folgt nach Division durch φ: φ = 1 + 1/φ, also φ − 1 = 1/φ. Dann ist 1 − 1/φ = (φ − 1)/φ = (1/φ)/φ = 1/φ².
Warum zeigen Sonnenblumen 21 und 34 Spiralen statt 20 und 30?
Spiralen entstehen zwischen Samen, die fast in einer Linie stehen, und beim goldenen Winkel liegen diese eine Fibonacci-Zahl auseinander: 13, 21, 34, 55…
Stundenentwurf · Modulare Arithmetik · Alter 13–18 · 45 Min.
Das Einmaleins auf dem Kreis
Ziele: Die Lernenden können
mit Resten rechnen (modulare Arithmetik)
eine Kardioide als Einhüllende gerader Linien zeichnen
den Faktor mit der Zahl der Spitzen verbinden
Vor dem Film: vorhersagen
Zehn Punkte auf einem Kreis sind von 0 bis 9 nummeriert. Jeder Punkt n wird mit dem Punkt 2n verbunden, wobei nach 9 wieder bei 0 weitergezählt wird. Mit welchem Punkt wird 7 verbunden?
Der Film
Times Table on a Circle: One Rule Draws a Heart (Cardioid) · hypnoticpatterns.doner.cloud/video/times-table-on-a-circle-one-rule-draws-a-heart-cardioid
Die Stunde, Minute für Minute
5 min
Vorhersagen an der Tafel mit zehn Punkten; einigt euch darauf, dass 7 mit 4 verbunden wird, da 14 − 10 = 4.
3 min
Schaut den Film „One Multiplication Rule Draws Every Shape“ an (Titel auf Englisch, ohne Sprechen).
20 min
Arbeitsblatt; wer auf dem Niveau Einstieg arbeitet, zeichnet den Kreis mit zehn Punkten von Hand.
10 min
Besprechen: die Fragen unten.
7 min
Live-Demo: mal 2, 3, 4, dann 101 mit 200 Punkten.
Das Arbeitsblatt
Einstieg
Gib bei 10 Punkten und mal 2 an, wohin jeder Punkt von 0 bis 9 geht.
Zeichne die zehn Linien. Bei welchen Punkten kommen zwei Linien an?
Lösung: Bei 2, 4, 6 und 8 kommen jeweils zwei Linien an: Zum Beispiel gehen 1 und 6 beide zu 2. Punkt 0 bekommt eine, von 5, da 0 auf sich selbst geht.
Basis
Wohin gehen bei 200 Punkten und mal 2 die Punkte 150 und 199?
Lösung: 300 − 200 = 100 und 398 − 200 = 198.
Welche Punkte gehen bei 200 Punkten unter mal 2 auf sich selbst? Unter mal 3?
Lösung: Mal 2: nur Punkt 0, da 2n = n nur für n = 0 gilt. Mal 3: die Punkte 0 und 100, da 2n gleich 0 oder 200 sein muss.
Wie viele Spitzen ergeben mal 2, mal 3 und mal 4?
Lösung: 1, 2 und 3: die Kardioide, die Nephroide und eine Kurve mit drei Spitzen, immer k − 1.
Herausforderung
Zeige, dass mal 101 bei 200 Punkten jeden geraden Punkt auf sich selbst schickt und jeden ungeraden auf die gegenüberliegende Seite.
Lösung: 101n = 100n + n. Für gerades n ist 100n ein Vielfaches von 200, also bleibt der Punkt n. Für ungerades n lässt 100n den Rest 100, also ist der Punkt n + 100: eine halbe Runde weiter.
Was zeichnet mal 201 bei 200 Punkten, und warum?
Lösung: Nichts: 201n = 200n + n, also geht jeder Punkt auf sich selbst, und jede Linie hat die Länge null.
Zum Besprechen
Warum sehen die geraden Linien wie eine Kurve aus?
Warum kommt es nur auf den Rest nach dem Teilen durch 200 an?
Was würde mal 202 zeichnen?
Kostenlos für den Unterricht mit deiner Klasse. Wenn es geholfen hat, erzähl es einer anderen Lehrkraft, oder: Den Kanal unterstützen →
Arbeitsblatt · Modulare Arithmetik
Das Einmaleins auf dem Kreis
Name: Datum:
Vor dem Film: vorhersagen
Zehn Punkte auf einem Kreis sind von 0 bis 9 nummeriert. Jeder Punkt n wird mit dem Punkt 2n verbunden, wobei nach 9 wieder bei 0 weitergezählt wird. Mit welchem Punkt wird 7 verbunden?
Einstieg
Gib bei 10 Punkten und mal 2 an, wohin jeder Punkt von 0 bis 9 geht.
Zeichne die zehn Linien. Bei welchen Punkten kommen zwei Linien an?
Basis
Wohin gehen bei 200 Punkten und mal 2 die Punkte 150 und 199?
Welche Punkte gehen bei 200 Punkten unter mal 2 auf sich selbst? Unter mal 3?
Wie viele Spitzen ergeben mal 2, mal 3 und mal 4?
Herausforderung
Zeige, dass mal 101 bei 200 Punkten jeden geraden Punkt auf sich selbst schickt und jeden ungeraden auf die gegenüberliegende Seite.
Was zeichnet mal 201 bei 200 Punkten, und warum?
Lösungen · für die Lehrkraft
Das Einmaleins auf dem Kreis
Einstieg
Gib bei 10 Punkten und mal 2 an, wohin jeder Punkt von 0 bis 9 geht.
0→0, 1→2, 2→4, 3→6, 4→8, 5→0, 6→2, 7→4, 8→6, 9→8.
Zeichne die zehn Linien. Bei welchen Punkten kommen zwei Linien an?
Bei 2, 4, 6 und 8 kommen jeweils zwei Linien an: Zum Beispiel gehen 1 und 6 beide zu 2. Punkt 0 bekommt eine, von 5, da 0 auf sich selbst geht.
Basis
Wohin gehen bei 200 Punkten und mal 2 die Punkte 150 und 199?
300 − 200 = 100 und 398 − 200 = 198.
Welche Punkte gehen bei 200 Punkten unter mal 2 auf sich selbst? Unter mal 3?
Mal 2: nur Punkt 0, da 2n = n nur für n = 0 gilt. Mal 3: die Punkte 0 und 100, da 2n gleich 0 oder 200 sein muss.
Wie viele Spitzen ergeben mal 2, mal 3 und mal 4?
1, 2 und 3: die Kardioide, die Nephroide und eine Kurve mit drei Spitzen, immer k − 1.
Herausforderung
Zeige, dass mal 101 bei 200 Punkten jeden geraden Punkt auf sich selbst schickt und jeden ungeraden auf die gegenüberliegende Seite.
101n = 100n + n. Für gerades n ist 100n ein Vielfaches von 200, also bleibt der Punkt n. Für ungerades n lässt 100n den Rest 100, also ist der Punkt n + 100: eine halbe Runde weiter.
Was zeichnet mal 201 bei 200 Punkten, und warum?
Nichts: 201n = 200n + n, also geht jeder Punkt auf sich selbst, und jede Linie hat die Länge null.
Stundenentwurf · Geometrie und Wahrscheinlichkeit · Alter 14–18 · 45 Min.
Das Chaosspiel: ein Fraktal aus dem Zufall
Ziele: Die Lernenden können
Mittelpunkte mit Koordinaten bestimmen
das Sierpiński-Dreieck und seine Selbstähnlichkeit beschreiben
erkennen, wie eine zufällige Regel trotzdem eine genaue Form ergeben kann
Vor dem Film: vorhersagen
Wähle zufällig eine der Ecken eines Dreiecks, spring auf halbem Weg zu ihr, markiere die Stelle und wiederhole das Tausende Male. Bekommst du eine zufällige Wolke oder etwas anderes?
Der Film
The Chaos Game: Pure Randomness Draws a Perfect Fractal · hypnoticpatterns.doner.cloud/video/the-chaos-game-pure-randomness-draws-a-perfect-fractal
Die Stunde, Minute für Minute
5 min
Vorhersagen; dann machen alle mit einem Würfel fünf Sprünge von Hand auf einem ausgedruckten Dreieck.
3 min
Schaut den Film „Pure Randomness Draws a Perfect Fractal“ an (Titel auf Englisch, ohne Sprechen).
20 min
Arbeitsblatt auf drei Niveaus.
10 min
Besprechen: die Fragen unten.
7 min
Live-Demo: das Quadrat mit und ohne die Einschränkung, dann das Fünfeck mit 0,618.
Das Arbeitsblatt
Einstieg
Die Ecken sind A (0; 0), B (8; 0) und C (4; 8). Starte bei (4; 4) und spring auf halbem Weg zu A, dann zu C, dann zu B, dann zu C. Schreib jeden Punkt auf.
Lösung: (2; 2), (3; 5), (5,5; 2,5), (4,75; 5,25).
Wie findest du den Punkt auf halbem Weg zwischen zwei Punkten?
Lösung: Nimm den Mittelwert der x-Werte und den Mittelwert der y-Werte.
Basis
Jede Stufe des Sierpiński-Dreiecks entfernt das mittlere Viertel jedes Dreiecks. Welcher Anteil der Fläche bleibt nach 1, 2 und 5 Stufen übrig?
Jeder Sprung halbiert den Abstand zum Fraktal. Welcher Teil des Anfangsabstands bleibt nach 10 Sprüngen übrig?
Lösung: (1/2)¹⁰ = 1/1024, etwa ein Tausendstel.
Herausforderung
Das Sierpiński-Dreieck besteht aus 3 halb so großen Kopien seiner selbst. Seine Dimension d löst 2ᵈ = 3. Bestimme d.
Lösung: d = log 3 ÷ log 2 ≈ 1,585: mehr als eine Linie (1), weniger als ein ausgefülltes Dreieck (2).
Spiel das Spiel in einem Quadrat mit Sprüngen um die Hälfte. Warum füllen die Punkte einfach das Quadrat?
Lösung: Vier halb so große Kopien eines Quadrats füllen das Quadrat genau, ohne Lücken, also ist die Form, die die Regel unverändert lässt, das ganze Quadrat.
Zum Besprechen
Wie können zufällige Entscheidungen eine Form ergeben, die jedes Mal genau gleich ist?
Was ändert sich, wenn du nie zweimal hintereinander dieselbe Ecke wählst?
Wo in der Natur siehst du Formen, die aus kleineren Kopien ihrer selbst bestehen?
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Arbeitsblatt · Geometrie und Wahrscheinlichkeit
Das Chaosspiel: ein Fraktal aus dem Zufall
Name: Datum:
Vor dem Film: vorhersagen
Wähle zufällig eine der Ecken eines Dreiecks, spring auf halbem Weg zu ihr, markiere die Stelle und wiederhole das Tausende Male. Bekommst du eine zufällige Wolke oder etwas anderes?
Einstieg
Die Ecken sind A (0; 0), B (8; 0) und C (4; 8). Starte bei (4; 4) und spring auf halbem Weg zu A, dann zu C, dann zu B, dann zu C. Schreib jeden Punkt auf.
Wie findest du den Punkt auf halbem Weg zwischen zwei Punkten?
Basis
Jede Stufe des Sierpiński-Dreiecks entfernt das mittlere Viertel jedes Dreiecks. Welcher Anteil der Fläche bleibt nach 1, 2 und 5 Stufen übrig?
Wie viele kleine Dreiecke gibt es nach 5 Stufen?
Jeder Sprung halbiert den Abstand zum Fraktal. Welcher Teil des Anfangsabstands bleibt nach 10 Sprüngen übrig?
Herausforderung
Das Sierpiński-Dreieck besteht aus 3 halb so großen Kopien seiner selbst. Seine Dimension d löst 2ᵈ = 3. Bestimme d.
Spiel das Spiel in einem Quadrat mit Sprüngen um die Hälfte. Warum füllen die Punkte einfach das Quadrat?
Lösungen · für die Lehrkraft
Das Chaosspiel: ein Fraktal aus dem Zufall
Einstieg
Die Ecken sind A (0; 0), B (8; 0) und C (4; 8). Starte bei (4; 4) und spring auf halbem Weg zu A, dann zu C, dann zu B, dann zu C. Schreib jeden Punkt auf.
(2; 2), (3; 5), (5,5; 2,5), (4,75; 5,25).
Wie findest du den Punkt auf halbem Weg zwischen zwei Punkten?
Nimm den Mittelwert der x-Werte und den Mittelwert der y-Werte.
Basis
Jede Stufe des Sierpiński-Dreiecks entfernt das mittlere Viertel jedes Dreiecks. Welcher Anteil der Fläche bleibt nach 1, 2 und 5 Stufen übrig?
3/4 = 75 %, 9/16 ≈ 56,3 %, (3/4)⁵ ≈ 23,7 %.
Wie viele kleine Dreiecke gibt es nach 5 Stufen?
3⁵ = 243.
Jeder Sprung halbiert den Abstand zum Fraktal. Welcher Teil des Anfangsabstands bleibt nach 10 Sprüngen übrig?
(1/2)¹⁰ = 1/1024, etwa ein Tausendstel.
Herausforderung
Das Sierpiński-Dreieck besteht aus 3 halb so großen Kopien seiner selbst. Seine Dimension d löst 2ᵈ = 3. Bestimme d.
d = log 3 ÷ log 2 ≈ 1,585: mehr als eine Linie (1), weniger als ein ausgefülltes Dreieck (2).
Spiel das Spiel in einem Quadrat mit Sprüngen um die Hälfte. Warum füllen die Punkte einfach das Quadrat?
Vier halb so große Kopien eines Quadrats füllen das Quadrat genau, ohne Lücken, also ist die Form, die die Regel unverändert lässt, das ganze Quadrat.