Une planche a 3 rangées. Dessine tous les chemins gauche/droite qu’une bille peut prendre. Combien y en a-t-il ?

Réponse : 2 × 2 × 2 = 8 chemins.

Combien des 8 chemins arrivent dans chacune des 4 cases ?

Réponse : 1, 3, 3, 1 : un chemin vers chaque bord, trois vers chaque case du milieu.

Quelle est la probabilité qu’une bille tombe dans l’une des deux cases du milieu ?

Réponse : 6 ÷ 8 = 75 %.

Avec 10 rangées, combien de chemins différents une bille peut-elle prendre ?

Réponse : 2¹⁰ = 1 024.

Combien d’entre eux arrivent dans la case du milieu (exactement 5 rebonds vers la droite) ?

Réponse : C(10, 5) = 252.

Quelle est la probabilité de la case du milieu ?

Réponse : 252 ÷ 1 024 ≈ 24,6 %.

Quelle est la probabilité de l’une des deux cases extrêmes ?

Réponse : 2 ÷ 1 024 ≈ 0,2 %.

Sur 1 000 billes, environ combien tombent dans les cases 4, 5 ou 6 ?

Réponse : (210 + 252 + 210) ÷ 1 024 ≈ 65,6 %, donc environ 656 billes.

Chaque clou envoie maintenant 60 % des billes vers la droite. Avec 10 rangées, quelle case est la plus probable, et avec quelle probabilité ?

Réponse : La case 6 : C(10, 6) · 0,6⁶ · 0,4⁴ ≈ 25,1 %. Le centre de la cloche se déplace à 10 × 0,6 = 6.

Avec un nombre pair de rangées n, la case du milieu reçoit C(n, n/2) ÷ 2ⁿ des billes. À partir de combien de rangées est-ce moins de 10 % ?

Réponse : À partir de 64 rangées : C(64, 32) ÷ 2⁶⁴ ≈ 9,9 %. La cloche s’étale, donc la case du milieu reçoit une part plus petite.

Quelle fraction d’un tour complet font 180° ? 120° ? 144° ? 135° ?

Réponse : 1/2, 1/3, 2/5, 3/8.

Combien de rayons droits donne chacun de ces angles ?

Réponse : 2, 3, 5 et 8 : le dénominateur de la fraction.

Pourquoi une fraction de tour fait-elle toujours des rayons ?

Réponse : Après autant de graines que le dénominateur, les rotations font en tout un nombre entier de tours, donc la graine suivante retombe sur le premier rayon.

Calcule 8/5, 13/8, 21/13, 34/21 et 55/34 à trois décimales. Que remarques-tu ?

Réponse : 1,600, 1,625, 1,615, 1,619, 1,618 : les rapports se rapprochent du nombre d’or φ ≈ 1,618 des deux côtés.

Calcule 360° ÷ φ², avec φ = 1,618034.

Réponse : 360 ÷ 2,618034 ≈ 137,5°.

L’angle d’or vaut 0,381966 de tour. Multiplie par 13, 21 et 34. À quelle distance d’un nombre entier est chaque résultat ?

Réponse : 4,9656, 8,0213, 12,9868 : à 0,034, 0,021 et 0,013 de tour. Les graines espacées de 21 ou de 34 s’alignent presque, et cela fait les spirales.

Montre que 360° × (1 − 1/φ) = 360° ÷ φ², en utilisant φ² = φ + 1.

Réponse : De φ² = φ + 1, en divisant par φ : φ = 1 + 1/φ, donc φ − 1 = 1/φ. Alors 1 − 1/φ = (φ − 1)/φ = (1/φ)/φ = 1/φ².

Pourquoi les tournesols montrent-ils 21 et 34 spirales plutôt que 20 et 30 ?

Réponse : Les spirales apparaissent entre des graines qui s’alignent presque, et pour l’angle d’or, celles-ci sont espacées d’un nombre de Fibonacci : 13, 21, 34, 55…

Avec 10 points et fois 2, écris où va chaque point de 0 à 9.

Réponse : 0→0, 1→2, 2→4, 3→6, 4→8, 5→0, 6→2, 7→4, 8→6, 9→8.

Trace les dix lignes. Quels points reçoivent deux lignes ?

Réponse : 2, 4, 6 et 8 reçoivent chacun deux lignes : par exemple, 1 et 6 vont tous les deux à 2. Le point 0 en reçoit une, venant de 5, car 0 va sur lui-même.

Avec 200 points et fois 2, où vont les points 150 et 199 ?

Réponse : 300 − 200 = 100, et 398 − 200 = 198.

Avec 200 points, quels points vont sur eux-mêmes avec fois 2 ? Avec fois 3 ?

Réponse : Fois 2 : seulement le point 0, car 2n = n impose n = 0. Fois 3 : les points 0 et 100, car 2n doit valoir 0 ou 200.

Combien de points de rebroussement donnent fois 2, fois 3 et fois 4 ?

Réponse : 1, 2 et 3 : la cardioïde, la néphroïde et une courbe à trois points de rebroussement, toujours k − 1.

Avec 200 points, montre que fois 101 envoie chaque point pair sur lui-même et chaque point impair de l’autre côté du cercle.

Réponse : 101n = 100n + n. Pour n pair, 100n est un multiple de 200, donc le point reste n. Pour n impair, 100n laisse un reste de 100, donc le point est n + 100 : à mi-tour.

Avec 200 points, que dessine fois 201, et pourquoi ?

Réponse : Rien : 201n = 200n + n, donc chaque point va sur lui-même et chaque ligne a une longueur nulle.

Les sommets sont A (0 ; 0), B (8 ; 0) et C (4 ; 8). Pars de (4 ; 4) et saute à mi-chemin vers A, puis C, puis B, puis C. Note chaque point.

Réponse : (2 ; 2), (3 ; 5), (5,5 ; 2,5), (4,75 ; 5,25).

Comment trouve-t-on le point à mi-chemin entre deux points ?

Réponse : On prend la moyenne des valeurs x et la moyenne des valeurs y.

Chaque étape du triangle de Sierpiński enlève le quart central de chaque triangle. Quelle part de l’aire reste-t-il après 1, 2 et 5 étapes ?

Réponse : 3/4 = 75 %, 9/16 ≈ 56,3 %, (3/4)⁵ ≈ 23,7 %.

Combien y a-t-il de petits triangles après 5 étapes ?

Réponse : 3⁵ = 243.

Chaque saut divise par deux la distance à la fractale. Après 10 sauts, quelle part de la distance de départ reste-t-il ?

Réponse : (1/2)¹⁰ = 1/1 024, environ un millième.

Le triangle de Sierpiński est fait de 3 copies de lui-même à moitié taille. Sa dimension d vérifie 2ᵈ = 3. Trouve d.

Réponse : d = log 3 ÷ log 2 ≈ 1,585 : plus qu’une ligne (1), moins qu’un triangle plein (2).

Joue au jeu dans un carré avec des sauts d’une moitié. Pourquoi les points remplissent-ils simplement le carré ?

Réponse : Quatre copies d’un carré à moitié taille remplissent exactement le carré, sans vides, donc la forme que la règle laisse inchangée est le carré entier.