Pourquoi une multiplication dessine un cœur
Relie chaque point n au point n × k sur un cercle. Une seule multiplication dessine une cardioïde et ses cousines.
Lecture depuis YouTube après un clic.
Essaie : change la règle
Fois 2 : la cardioïde, un point de rebroussement.
Pourquoi ça marche
Place 200 points sur un cercle et relie chaque point n au point n × 2. Chaque ligne suit la même règle, et ensemble elles dessinent le contour d’une courbe en forme de cœur, la cardioïde. Change le multiplicateur et une nouvelle forme apparaît.
point n → point (k · n) mod Nk entier → une épicycloïde à k − 1 points de rebroussement
Construis-le toi-même
Python 3 · numpy · matplotlib200 points, chacun relié à son double : la cardioïde.
"""Times table on a circle: N dots, each dot n joined to dot (k * n) mod N.
Run: python times-table.py (needs: pip install numpy matplotlib)
"""
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
plt.style.use("dark_background")
N, k = 200, 2 # the number of dots and the multiplier
start = 2 * np.pi * np.arange(N) / N # dot n at the angle 2*pi*n/N
end = start * k # dot k*n: angles wrap around the circle by themselves (that is the "mod N")
plt.figure(figsize=(6, 6))
for a, b in zip(start, end):
plt.plot([np.cos(a), np.cos(b)], [np.sin(a), np.sin(b)], color="#f5c76b", linewidth=0.6)
plt.axis("equal")
plt.axis("off")
plt.show()
# Try: k = 3 for the nephroid, k = 101 to see it collapse into diameters
Essaie : Mets k = 3 pour la néphroïde, ou k = 101 pour voir l’image s’effondrer en diamètres.
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Pour les enseignants : une fiche de cours de 45 minutes et une fiche d’exercices sur trois niveaux →
Les maths, telles que le film les raconte
Lire les notes du film (de YouTube, en anglais)
200 points sit evenly around a circle, numbered 0 to 199. One rule draws everything: point n is joined by a straight line to point k·n, counting around the circle and wrapping past 200 (that is k·n mod 200). For k = 2 the envelope of the lines — the curve every one of them just touches — is a cardioid; k = 3 gives a nephroid with two cusps, and in general whole-number k gives an epicycloid with k − 1 cusps. k does not have to be a whole number: the end of each line simply slides along the circle, so the shapes morph into one another as k glides.
The richest flowers appear where k is one away from a simple fraction of 200 (51, 67, 99, 101, 133, 151 …): there the lines almost repeat every few points, and the near-misses pile up into petals. Because only the remainder after dividing by 200 matters, k = 201 sends every point to itself — all 200 lines shrink to nothing — and k = 202 is the cardioid again, exactly where the film began.
D’après la description de One Multiplication Rule Draws Every Shape (en anglais).
