Leçon 9 : Grilles et diffusion

"""Turing patterns: the Gray-Scott reaction-diffusion rule on a 128 x 128 grid.
Run: python turing-patterns.py   (needs: pip install numpy matplotlib; takes a few seconds)
"""
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

plt.style.use("dark_background")

size, steps = 128, 6000
f, k = 0.0545, 0.062  # feed and kill rates: coral
DA, DB = 1.0, 0.5  # A spreads twice as fast as B

A, B = np.ones((size, size)), np.zeros((size, size))
rng = np.random.default_rng()
for y, x in rng.integers(10, size - 18, (6, 2)):
    B[y : y + 8, x : x + 8] = 1.0  # six drops of B


def laplacian(Z):
    """Each cell against its neighbours: 0.2 for the four sides, 0.05 for the corners (Karl Sims)"""
    sides = np.roll(Z, 1, 0) + np.roll(Z, -1, 0) + np.roll(Z, 1, 1) + np.roll(Z, -1, 1)
    corners = (np.roll(np.roll(Z, 1, 0), 1, 1) + np.roll(np.roll(Z, 1, 0), -1, 1)
               + np.roll(np.roll(Z, -1, 0), 1, 1) + np.roll(np.roll(Z, -1, 0), -1, 1))
    return 0.2 * sides + 0.05 * corners - Z


for _ in range(steps):
    reaction = A * B * B  # one A and two B make three B
    A += DA * laplacian(A) - reaction + f * (1 - A)
    B += DB * laplacian(B) + reaction - (f + k) * B

plt.figure(figsize=(6, 6))
plt.imshow(B, cmap="magma", vmin=0, vmax=0.5)
plt.axis("off")
plt.show()

# Try: f, k = 0.039, 0.058 (a cell net) or 0.034, 0.063 (spots) -> the same rule, another pattern

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Ligne par ligne

1. A, B = np.ones((size, size)), np.zeros((size, size))

   Deux grilles de 128 × 128 : la nourriture A partout, pas encore de B.

2. B[y : y + 8, x : x + 8] = 1.0

   Une goutte de B : un carré de 8 × 8 de la grille, rempli d’un coup par découpage.

3. def laplacian(Z):

   À quel point une cellule diffère de ses voisines : positif là où les voisines en ont plus, donc la diffusion la remplit.

4. sides = np.roll(Z, 1, 0) + np.roll(Z, -1, 0) + np.roll(Z, 1, 1) + np.roll(Z, -1, 1)

   np.roll décale toute la grille d’une cellule vers le haut, le bas, la gauche ou la droite ; les bords se rejoignent, donc la boîte n’a pas de bord.

5. reaction = A * B * B

   La réaction, un A et deux B donnent trois B, pour chaque cellule d’un coup.

6. A += DA * laplacian(A) - reaction + f * (1 - A)

   La règle de Gray–Scott pour A : il se répand, il est mangé, et il est réalimenté vers 1 au taux f.

7. plt.imshow(B, cmap="magma", vmin=0, vmax=0.5)

   La grille de B sous forme d’image, un pixel par cellule.

À toi de jouer

1. Essaie f, k = 0.034, 0.063.

   Indice

   Une ligne près du début.

   Réponse

   Des taches : des plaques rondes de B, espacées régulièrement, au lieu des lignes sinueuses du corail.

2. Fais que B se répande aussi vite que A : DB = 1.0. Que se passe-t-il ?

   Indice

   DA, DB = 1.0, 1.0.

   Réponse

   Aucun motif : les gouttes s’effacent jusqu’à disparaître. Si A ne se répand pas plus vite que B, rien ne maintient les plaques séparées. C’est tout l’argument de Turing.

3. Utilise une seule goutte au milieu au lieu de six.

   Indice

   Remplace la boucle par B[60:68, 60:68] = 1.0.

   Réponse

   Le corail pousse vers l’extérieur à partir de cette goutte unique, avec une symétrie d’ordre quatre qui reprend la goutte carrée : une seule graine donne un motif ordonné, six gouttes au hasard un motif d’allure naturelle.

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