Lekcja 9: Siatki i dyfuzja

"""Turing patterns: the Gray-Scott reaction-diffusion rule on a 128 x 128 grid.
Run: python turing-patterns.py   (needs: pip install numpy matplotlib; takes a few seconds)
"""
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

plt.style.use("dark_background")

size, steps = 128, 6000
f, k = 0.0545, 0.062  # feed and kill rates: coral
DA, DB = 1.0, 0.5  # A spreads twice as fast as B

A, B = np.ones((size, size)), np.zeros((size, size))
rng = np.random.default_rng()
for y, x in rng.integers(10, size - 18, (6, 2)):
    B[y : y + 8, x : x + 8] = 1.0  # six drops of B


def laplacian(Z):
    """Each cell against its neighbours: 0.2 for the four sides, 0.05 for the corners (Karl Sims)"""
    sides = np.roll(Z, 1, 0) + np.roll(Z, -1, 0) + np.roll(Z, 1, 1) + np.roll(Z, -1, 1)
    corners = (np.roll(np.roll(Z, 1, 0), 1, 1) + np.roll(np.roll(Z, 1, 0), -1, 1)
               + np.roll(np.roll(Z, -1, 0), 1, 1) + np.roll(np.roll(Z, -1, 0), -1, 1))
    return 0.2 * sides + 0.05 * corners - Z


for _ in range(steps):
    reaction = A * B * B  # one A and two B make three B
    A += DA * laplacian(A) - reaction + f * (1 - A)
    B += DB * laplacian(B) + reaction - (f + k) * B

plt.figure(figsize=(6, 6))
plt.imshow(B, cmap="magma", vmin=0, vmax=0.5)
plt.axis("off")
plt.show()

# Try: f, k = 0.039, 0.058 (a cell net) or 0.034, 0.063 (spots) -> the same rule, another pattern

Nie masz Pythona na tym komputerze? Notatnik uruchamia ten sam skrypt, zadania i odpowiedzi w przeglądarce, w Google Colab. Notatnik jest po angielsku.

Linijka po linijce

1. A, B = np.ones((size, size)), np.zeros((size, size))

   Dwie siatki 128 × 128: pożywienie A wszędzie, jeszcze bez B.

2. B[y : y + 8, x : x + 8] = 1.0

   Kropla B: kwadrat 8 × 8 siatki, ustawiony naraz przez wycinek.

3. def laplacian(Z):

   O ile komórka różni się od sąsiadów: wartość dodatnia tam, gdzie sąsiedzi mają więcej, więc dyfuzja ją uzupełni.

4. sides = np.roll(Z, 1, 0) + np.roll(Z, -1, 0) + np.roll(Z, 1, 1) + np.roll(Z, -1, 1)

   np.roll przesuwa całą siatkę o jedną komórkę w górę, w dół, w lewo albo w prawo; brzegi się zawijają, więc szalka nie ma krawędzi.

5. reaction = A * B * B

   Reakcja, jedno A i dwa B dają trzy B, dla każdej komórki naraz.

6. A += DA * laplacian(A) - reaction + f * (1 - A)

   Reguła Graya–Scotta dla A: rozprzestrzenia się, jest zjadane i dopływa z powrotem do 1 w tempie f.

7. plt.imshow(B, cmap="magma", vmin=0, vmax=0.5)

   Siatka B jako obrazek, jeden piksel na komórkę.

Twoja kolej

1. Spróbuj f, k = 0.034, 0.063.

   Podpowiedź

   Jedna linijka u góry.

   Odpowiedź

   Plamy: okrągłe skupiska B w równych odstępach zamiast krętych linii koralu.

2. Niech B rozprzestrzenia się tak szybko jak A: DB = 1.0. Co się dzieje?

   Podpowiedź

   DA, DB = 1.0, 1.0.

   Odpowiedź

   Żadnego wzoru: krople zanikają do zera. Jeśli A nie rozprzestrzenia się szybciej od B, nic nie utrzymuje plam w odstępach. To właśnie myśl Turinga.

3. Użyj jednej kropli na środku zamiast sześciu.

   Podpowiedź

   Zastąp pętlę przez B[60:68, 60:68] = 1.0.

   Odpowiedź

   Koral rośnie na zewnątrz z jednej kropli z czterokrotną symetrią, która powtarza kwadratową kroplę: jedno ziarno daje uporządkowany wzór, sześć losowych kropli naturalnie wyglądający.

Quiz