Lección 9: Cuadrículas y difusión

"""Turing patterns: the Gray-Scott reaction-diffusion rule on a 128 x 128 grid.
Run: python turing-patterns.py   (needs: pip install numpy matplotlib; takes a few seconds)
"""
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

plt.style.use("dark_background")

size, steps = 128, 6000
f, k = 0.0545, 0.062  # feed and kill rates: coral
DA, DB = 1.0, 0.5  # A spreads twice as fast as B

A, B = np.ones((size, size)), np.zeros((size, size))
rng = np.random.default_rng()
for y, x in rng.integers(10, size - 18, (6, 2)):
    B[y : y + 8, x : x + 8] = 1.0  # six drops of B


def laplacian(Z):
    """Each cell against its neighbours: 0.2 for the four sides, 0.05 for the corners (Karl Sims)"""
    sides = np.roll(Z, 1, 0) + np.roll(Z, -1, 0) + np.roll(Z, 1, 1) + np.roll(Z, -1, 1)
    corners = (np.roll(np.roll(Z, 1, 0), 1, 1) + np.roll(np.roll(Z, 1, 0), -1, 1)
               + np.roll(np.roll(Z, -1, 0), 1, 1) + np.roll(np.roll(Z, -1, 0), -1, 1))
    return 0.2 * sides + 0.05 * corners - Z


for _ in range(steps):
    reaction = A * B * B  # one A and two B make three B
    A += DA * laplacian(A) - reaction + f * (1 - A)
    B += DB * laplacian(B) + reaction - (f + k) * B

plt.figure(figsize=(6, 6))
plt.imshow(B, cmap="magma", vmin=0, vmax=0.5)
plt.axis("off")
plt.show()

# Try: f, k = 0.039, 0.058 (a cell net) or 0.034, 0.063 (spots) -> the same rule, another pattern

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Línea a línea

1. A, B = np.ones((size, size)), np.zeros((size, size))

   Dos cuadrículas de 128 × 128: el alimento A en todas partes, todavía nada de B.

2. B[y : y + 8, x : x + 8] = 1.0

   Una gota de B: un cuadrado de 8 × 8 de la cuadrícula, asignado de una vez mediante slicing.

3. def laplacian(Z):

   Cuánto se diferencia una celda de sus vecinas: positivo donde las vecinas tienen más, así que la difusión la rellena.

4. sides = np.roll(Z, 1, 0) + np.roll(Z, -1, 0) + np.roll(Z, 1, 1) + np.roll(Z, -1, 1)

   np.roll desplaza toda la cuadrícula una celda hacia arriba, abajo, la izquierda o la derecha; los bordes dan la vuelta, así que la placa no tiene borde.

5. reaction = A * B * B

   La reacción, una A y dos B dan tres B, para todas las celdas a la vez.

6. A += DA * laplacian(A) - reaction + f * (1 - A)

   La regla de Gray-Scott para A: se extiende, se consume y se repone hacia 1 al ritmo f.

7. plt.imshow(B, cmap="magma", vmin=0, vmax=0.5)

   La cuadrícula de B como imagen, un píxel por celda.

Pruébalo tú

1. Prueba f, k = 0.034, 0.063.

   Pista

   Una línea cerca del principio.

   Respuesta

   Manchas: zonas redondas de B, separadas por igual, en lugar de las líneas sinuosas del coral.

2. Haz que B se extienda tan deprisa como A: DB = 1.0. ¿Qué pasa?

   Pista

   DA, DB = 1.0, 1.0.

   Respuesta

   No aparece ningún patrón: las gotas se desvanecen hasta desaparecer. Si A no se extiende más deprisa que B, nada mantiene separadas las manchas. Esa es la idea de Turing.

3. Usa una sola gota en el centro en lugar de seis.

   Pista

   Sustituye el bucle por B[60:68, 60:68] = 1.0.

   Respuesta

   El coral crece hacia fuera desde la única gota con una simetría cuádruple que copia la gota cuadrada: una sola semilla da un patrón ordenado; seis gotas al azar, uno de aspecto natural.

Cuestionario