Lektion 9: Gitter und Diffusion

"""Turing patterns: the Gray-Scott reaction-diffusion rule on a 128 x 128 grid.
Run: python turing-patterns.py   (needs: pip install numpy matplotlib; takes a few seconds)
"""
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

plt.style.use("dark_background")

size, steps = 128, 6000
f, k = 0.0545, 0.062  # feed and kill rates: coral
DA, DB = 1.0, 0.5  # A spreads twice as fast as B

A, B = np.ones((size, size)), np.zeros((size, size))
rng = np.random.default_rng()
for y, x in rng.integers(10, size - 18, (6, 2)):
    B[y : y + 8, x : x + 8] = 1.0  # six drops of B


def laplacian(Z):
    """Each cell against its neighbours: 0.2 for the four sides, 0.05 for the corners (Karl Sims)"""
    sides = np.roll(Z, 1, 0) + np.roll(Z, -1, 0) + np.roll(Z, 1, 1) + np.roll(Z, -1, 1)
    corners = (np.roll(np.roll(Z, 1, 0), 1, 1) + np.roll(np.roll(Z, 1, 0), -1, 1)
               + np.roll(np.roll(Z, -1, 0), 1, 1) + np.roll(np.roll(Z, -1, 0), -1, 1))
    return 0.2 * sides + 0.05 * corners - Z


for _ in range(steps):
    reaction = A * B * B  # one A and two B make three B
    A += DA * laplacian(A) - reaction + f * (1 - A)
    B += DB * laplacian(B) + reaction - (f + k) * B

plt.figure(figsize=(6, 6))
plt.imshow(B, cmap="magma", vmin=0, vmax=0.5)
plt.axis("off")
plt.show()

# Try: f, k = 0.039, 0.058 (a cell net) or 0.034, 0.063 (spots) -> the same rule, another pattern

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Zeile für Zeile

1. A, B = np.ones((size, size)), np.zeros((size, size))

   Zwei Gitter von 128 × 128: überall das Futter A, noch kein B.

2. B[y : y + 8, x : x + 8] = 1.0

   Ein Tropfen B: ein Quadrat von 8 × 8 Zellen des Gitters, auf einmal durch Slicing gesetzt.

3. def laplacian(Z):

   Wie sehr sich eine Zelle von ihren Nachbarn unterscheidet: positiv, wo die Nachbarn mehr haben, sodass die Diffusion sie auffüllt.

4. sides = np.roll(Z, 1, 0) + np.roll(Z, -1, 0) + np.roll(Z, 1, 1) + np.roll(Z, -1, 1)

   np.roll verschiebt das ganze Gitter um eine Zelle nach oben, unten, links oder rechts; die Ränder laufen herum, also hat die Schale keinen Rand.

5. reaction = A * B * B

   Die Reaktion, ein A und zwei B ergeben drei B, für jede Zelle auf einmal.

6. A += DA * laplacian(A) - reaction + f * (1 - A)

   Die Gray-Scott-Regel für A: Es breitet sich aus, wird verbraucht und wird mit der Rate f wieder in Richtung 1 aufgefüllt.

7. plt.imshow(B, cmap="magma", vmin=0, vmax=0.5)

   Das Gitter von B als Bild, ein Pixel pro Zelle.

Probier es selbst

1. Probier f, k = 0.034, 0.063.

   Hinweis

   Eine Zeile weit oben.

   Lösung

   Flecken: runde Stellen aus B, gleichmäßig verteilt, statt der gewundenen Linien der Koralle.

2. Lass B so schnell wie A diffundieren: DB = 1.0. Was passiert?

   Hinweis

   DA, DB = 1.0, 1.0.

   Lösung

   Gar kein Muster: Die Tropfen verblassen zu nichts. Ohne dass sich A schneller ausbreitet als B, hält nichts die Flecken auseinander. Das ist Turings Kernpunkt.

3. Nimm einen Tropfen in der Mitte statt sechs.

   Hinweis

   Ersetze die Schleife durch B[60:68, 60:68] = 1.0.

   Lösung

   Die Koralle wächst von dem einen Tropfen nach außen, mit einer vierzähligen Symmetrie, die den quadratischen Tropfen nachbildet: Ein Keim ergibt ein geordnetes Muster, sechs zufällige Tropfen ein natürlich aussehendes.

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