Leçon 7 : Avancer dans le temps pas à pas

"""A ball under gravity in a ring with a gap that spins; the bounces are elastic and without friction.
Run: python spinning-ring.py   (needs: pip install numpy matplotlib)
"""
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

plt.style.use("dark_background")

R, ball, g = 1.0, 0.05, 9.81  # ring radius (m), ball radius, gravity
gap, spin = np.radians(18), 2 * np.pi / 4  # an 18 degree gap, one turn every 4 seconds
p, v = np.array([0.3, 0.2]), np.array([1.8, 0.7])
dt, t, track = 0.0005, 0.0, []

while t < 60:
    v[1] -= g * dt
    p = p + v * dt
    t += dt
    track.append(p.copy())
    r = np.linalg.norm(p)
    if r > R - ball:  # the ball touches the wall, or is at the gap
        angle = np.arctan2(p[1], p[0])
        centre = -np.pi / 2 + spin * t  # where the gap is now
        off = abs((angle - centre + np.pi) % (2 * np.pi) - np.pi)
        if off < gap / 2 - ball / R:  # all of the ball fits through: out
            break
        normal = p / r
        v = v - 2 * np.dot(v, normal) * normal  # the bounce: the spin plays no part in it
        p = normal * (R - ball)

track = np.array(track)
print(f"escaped after {t:.1f} s" if t < 60 else "still inside after 60 s")
plt.figure(figsize=(6, 6))
plt.plot(track[:, 0], track[:, 1], color="#5eead4", linewidth=0.4)
plt.gca().add_patch(plt.Circle((0, 0), R, fill=False, color="white"))
plt.axis("equal")
plt.axis("off")
plt.show()

# Try: spin = 0 and centre = -np.pi / 2 (a still gap at the bottom): the bounces stay the same

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Ligne par ligne

1. v[1] -= g * dt

   La gravité : à chaque pas, la vitesse verticale diminue de g·dt.

2. p = p + v * dt

   La bille se déplace de sa vitesse multipliée par le pas de temps. Cette façon la plus simple d’avancer s’appelle la méthode d’Euler.

3. if r > R - ball:

   Le bord de la bille atteint la paroi quand son centre est à un rayon de bille de l’anneau.

4. off = abs((angle - centre + np.pi) % (2 * np.pi) - np.pi)

   L’angle entre la bille et le milieu de l’ouverture, ramené entre −π et π, pour que 359° compte comme un écart de 1°.

5. v = v - 2 * np.dot(v, normal) * normal

   La réflexion : retirer deux fois la partie de la vitesse qui suit la normale. La rotation de l’anneau n’y intervient pas.

6. p = normal * (R - ball)

   Remettre la bille sur la paroi, pour qu’un pas ne puisse jamais la laisser dehors.

À toi de jouer

1. Vérifie l’énergie, ½·|v|² + g·y par unité de masse : affiche-la au début et à la fin. Reste-t-elle la même ?

   Indice

   np.dot(v, v) vaut |v|².

   Réponse

   Presque : elle baisse d’environ 2 % sur toute la simulation, de 3.83 à 3.75. Les pas simples et le fait de remettre la bille sur la paroi en perdent un peu.

2. Divise dt par deux. Qu’arrive-t-il à l’énergie et au moment où la bille s’échappe ?

   Indice

   dt = 0.00025.

   Réponse

   L’énergie baisse maintenant d’environ 1 % au lieu de 2 % ; la bille s’échappe toujours après environ 3,9 s.

3. Pourquoi la ligne du rebond n’utilise-t-elle pas du tout spin ?

   Indice

   Dans quelle direction bouge un point de la paroi ?

   Réponse

   Sans frottement, la paroi ne peut pousser que le long de la normale, et une paroi qui tourne se déplace le long de la tangente, perpendiculaire à la normale.

Quiz