Lekcja 7: Krok po kroku w czasie

"""A ball under gravity in a ring with a gap that spins; the bounces are elastic and without friction.
Run: python spinning-ring.py   (needs: pip install numpy matplotlib)
"""
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

plt.style.use("dark_background")

R, ball, g = 1.0, 0.05, 9.81  # ring radius (m), ball radius, gravity
gap, spin = np.radians(18), 2 * np.pi / 4  # an 18 degree gap, one turn every 4 seconds
p, v = np.array([0.3, 0.2]), np.array([1.8, 0.7])
dt, t, track = 0.0005, 0.0, []

while t < 60:
    v[1] -= g * dt
    p = p + v * dt
    t += dt
    track.append(p.copy())
    r = np.linalg.norm(p)
    if r > R - ball:  # the ball touches the wall, or is at the gap
        angle = np.arctan2(p[1], p[0])
        centre = -np.pi / 2 + spin * t  # where the gap is now
        off = abs((angle - centre + np.pi) % (2 * np.pi) - np.pi)
        if off < gap / 2 - ball / R:  # all of the ball fits through: out
            break
        normal = p / r
        v = v - 2 * np.dot(v, normal) * normal  # the bounce: the spin plays no part in it
        p = normal * (R - ball)

track = np.array(track)
print(f"escaped after {t:.1f} s" if t < 60 else "still inside after 60 s")
plt.figure(figsize=(6, 6))
plt.plot(track[:, 0], track[:, 1], color="#5eead4", linewidth=0.4)
plt.gca().add_patch(plt.Circle((0, 0), R, fill=False, color="white"))
plt.axis("equal")
plt.axis("off")
plt.show()

# Try: spin = 0 and centre = -np.pi / 2 (a still gap at the bottom): the bounces stay the same

Nie masz Pythona na tym komputerze? Notatnik uruchamia ten sam skrypt, zadania i odpowiedzi w przeglądarce, w Google Colab. Notatnik jest po angielsku.

Linijka po linijce

1. v[1] -= g * dt

   Grawitacja: w każdym kroku prędkość pionowa spada o g·dt.

2. p = p + v * dt

   Kulka przesuwa się o swoją prędkość razy krok czasu. Ten najprostszy sposób liczenia kroków to metoda Eulera.

3. if r > R - ball:

   Brzeg kulki dotyka ściany, gdy jej środek jest o jeden promień kulki od pierścienia.

4. off = abs((angle - centre + np.pi) % (2 * np.pi) - np.pi)

   Kąt między kulką a środkiem szczeliny, zawinięty do przedziału −π … π, tak żeby 359° liczyło się jako 1° różnicy.

5. v = v - 2 * np.dot(v, normal) * normal

   Odbicie: odejmij dwa razy część prędkości wzdłuż normalnej. Obrót pierścienia w ogóle tu nie wchodzi.

6. p = normal * (R - ball)

   Postaw kulkę z powrotem na ścianie, żeby żaden krok nie zostawił jej na zewnątrz.

Twoja kolej

1. Sprawdź energię, ½·|v|² + g·y na jednostkę masy: wypisz ją na początku i na końcu. Czy się nie zmienia?

   Podpowiedź

   np.dot(v, v) to |v|².

   Odpowiedź

   Prawie: przez cały przebieg spada o około 2 %, z 3.83 do 3.75. Proste kroki i dosuwanie kulki do ściany trochę jej tracą.

2. Zmniejsz dt o połowę. Co dzieje się z energią i z chwilą ucieczki kulki?

   Podpowiedź

   dt = 0.00025.

   Odpowiedź

   Energia spada teraz o około 1 % zamiast 2 %; kulka nadal ucieka po około 3,9 s.

3. Dlaczego linijka odbicia w ogóle nie używa spin?

   Podpowiedź

   W którą stronę porusza się punkt ściany?

   Odpowiedź

   Bez tarcia ściana może pchać tylko wzdłuż normalnej, a wirująca ściana porusza się wzdłuż stycznej, pod kątem prostym do niej.

Quiz